Soluzioni
  • Si dice altezza della piramide il segmento che ha origine nel vertice della piramide non appartenente al piano di base e che cade perpendicolarmente sul piano della base.

    In una piramide retta l'altezza coincide con il segmento che unisce il vertice della piramide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base.

     

    Altezza piramide retta Altezza piramide obliqua

    Altezza h di una piramide retta.

    Altezza h di una piramide obliqua.

     

    Formule per l'altezza della piramide

    La misura dell'altezza di una piramide può essere calcolata con le due formule che abbiamo riportato nella tabella sottostante. La prima vale per qualsiasi tipo di piramide, la seconda solo per le piramidi rette e per le piramidi regolari.

    Abbiamo indicato con h l'altezza, con V il volume, con S_b l'area di base. Nelle piramidi rette e in quelle regolari a è l'apotema e r il raggio della circonferenza inscritta nel poligono di base.

     

    Altezza di una piramide qualsiasi (sia retta che obliqua)

    h=\frac{3V}{S_b}

    Altezza di una piramide retta o regolare

    h=\sqrt{a^2-r^2}

     

    Per una tabella con tutte le formule della piramide e per un elenco con tutte le proprietà e le caratteristiche di questo solido, vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sull'altezza della piramide

    Vediamo ora una serie di problemi svolti sul calcolo dell'altezza della piramide. Prima di ogni esempio abbiamo spiegato da dove derivano le formule riportate in tabella, così che dovrebbe essere più facile ricordarle.

    Calcolo altezza piramide con il volume e l'area di base

    Per calcolare la misura dell'altezza di una piramide qualsiasi di deve dividere il triplo del volume per l'area del poligono di base

    h=\frac{3V}{S_b}

    Questa relazione si ottiene invertendo la formula del volume della piramide

    V=\frac{S_b \times h}{3}

    ed è l'unico metodo utile, in generale, per determinare la misura dell'altezza di una piramide qualsiasi.

    Esempi

    1) Il volume di una piramide rettangolare è di 78 metri cubi e le dimensioni del rettangolo di base misurano 6,5 metri e 4 metri. Calcolare la misura dell'altezza della piramide.

    Svolgimento: siano

    \\ a=6,5 \mbox{ m} \\ \\ b=4 \mbox{ m}

    le dimensioni del rettangolo di base.

    Calcoliamo l'area del rettangolo moltiplicando le misure delle dimensioni

    S_b=a \times b = (6,5 \mbox{ m}) \times (4 \mbox{ m}) = 26 \mbox{ m}^2

    per poi determinare la misura dell'altezza dividendo il triplo del volume per l'area di base

    h=\frac{3V}{S_b}=\frac{3 \times (78 \mbox{ m}^3)}{26 \mbox{ m}^2} = \frac{234 \mbox{ m}^3}{26 \mbox{ m}^2} = 9 \mbox{ m}

    2) Una piramide a base triangolare equivale a un cubo avente lo spigolo di 5 cm. Calcolare la misura dell'altezza della piramide sapendo che i lati del triangolo di base misurano 5,2 cm, 5,6 cm e 6 cm.

    Svolgimento: conoscendo le misure dei lati del triangolo di base

    \\ a = 5,2 \mbox{ cm} \\ \\ b=5,6 \mbox{ cm} \\ \\ c=6 \mbox{ cm}

    possiamo calcolare l'area di base con la formula di Erone

    S_b=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

    dove p è il semiperimetro, cioè

    p=\frac{2p}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5,2 \mbox{ cm} + 5,6 \mbox{ cm} + 6 \mbox{ cm}}{2} = \frac{16,8 \mbox{ cm}}{2}=8,4 \mbox{ cm}

    Dunque

    \\ S_b=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\ \\ = \sqrt{(8,4 \mbox{ cm}) \times (8,4 \mbox{ cm} - 5,2 \mbox{ cm}) \times (8,4 \mbox{ cm} - 5,6 \mbox{ cm}) \times (8,4 \mbox{ cm} - 6 \mbox{ cm})} = \\ \\ = \sqrt{(8,4 \mbox{ cm}) \times (3,2 \mbox{ cm}) \times (2,8 \mbox{ cm}) \times (2,4 \mbox{ cm})} = \\ \\ = \sqrt{180,6336 \mbox{ cm}^4} = \mbox{13,44 cm}^2

    Ricordando che due solidi equivalenti hanno lo stesso volume, e sapendo che la piramide è equivalente a un cubo avente lo spigolo di 5 cm, troviamo il volume del cubo

    V=V_{piramide} = V_{cubo} = L^3 = (5 \mbox{ cm})^3 = 125 \mbox{ cm}^3

    Di conseguenza

    h=\frac{3V}{S_b}=\frac{3 \times (125 \mbox{ cm}^3)}{13,44 \mbox{ cm}^2}=\frac{375 \mbox{ cm}^3}{13,44 \mbox{ cm}^2} \simeq 27,9 \mbox{ cm}

    Calcolo altezza piramide retta

    In una piramide retta, l'altezza è il cateto di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa l'apotema della piramide e come altro cateto il raggio della circonferenza inscritta nel poligono di base.

    Possiamo allora calcolare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora, estraendo la radice quadrata della differenza tra il quadrato dell'apotema e il quadrato del raggio

    h=\sqrt{a^2-r^2}

    Esempi

    1) Calcolare la misura dell'altezza di una piramide regolare a base pentagonale sapendo che l'apotema della piramide è di 215 mm e che lo spigolo di base misura 250 mm.

    Svolgimento: determiniamo la misura del raggio della circonferenza inscritta nel pentagono di base moltiplicando la misura dello spigolo per il numero fisso del pentagono (f=0,688)

    r=L \times f = (250 \mbox{ mm}) \times 0,688 = 172 \mbox{ mm}

    Possiamo così calcolare la misura dell'altezza della piramide

    \\ h=\sqrt{a^2-r^2} = \sqrt{(215 \mbox{ mm})^2 - (172 \mbox{ mm})^2} = \\ \\ = \sqrt{46225 \mbox{ mm}^2 - 29584 \mbox{ mm}^2} = \sqrt{16641 \mbox{ mm}^2} = 129 \mbox{ mm}

    2) Lo spigolo di base di una piramide quadrangolare regolare è di 6 dm e l'area della superficie laterale è di 60 dm2. Calcolare la misura dell'altezza della piramide.

    Svolgimento: una piramide quadrangolare regolare è una piramide retta a base quadrata, quindi lo spigolo di base è il lato di un quadrato, che sappiamo essere di 6 dm

    L=6 \mbox{ dm}

    Calcoliamo le misure del perimetro di base e del raggio della circonferenza inscritta (apotema del quadrato)

    \\ 2p=4L = 4 \times (6 \mbox{ dm}) = 24 \mbox{ dm} \\ \\ r=\frac{L}{2}=\frac{6 \mbox{ dm}}{2}=3 \mbox{ dm}

    Dalla formula per il calcolo della superficie laterale

    S_{lat}=\frac{2p \times a}{2}

    possiamo ricavare l'apotema

    a=\frac{2S_{lat}}{2p} = \frac{2 \times (60 \mbox{ dm}^2)}{24 \mbox{ dm}} = \frac{120 \mbox{ dm}^2}{24 \mbox{ dm}} = 5 \mbox{ dm}

    e concludere l'esercizio determinando la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

    \\ h=\sqrt{a^2-r^2} = \sqrt{(5 \mbox{ dm})^2 - (3 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ dm}^2 - 9 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{16 \mbox{ dm}^2} = 4 \mbox{ dm}

    ***

    Se cercate altri problemi svolti potete consultare la scheda di esercizi sulla piramide o usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
 
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