Soluzioni
  • L'area del prisma è l'area della superficie totale, data dalla somma delle aree di tutte le facce del prisma; l'area della superficie laterale è, invece, la somma delle aree delle facce laterali, che per definizione sono parallelogrammi.

    Le basi di un prisma sono poligoni congruenti, dunque l'area di un prisma si ottiene sommando l'area della superficie laterale al doppio dell'area di base.

     

    Area prisma

    Area del prisma = Stot = Slat + 2Sb

    Formule per l'area del prisma

    Nella tabella sottostante abbiamo riportato le formule per il calcolo dell'area della superficie totale S_{tot}, dell'area della superficie laterale S_{lat} e dell'area della superficie di base S_b di un prisma qualsiasi.

     

    Area della superficie totale del prisma

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

    Area della superficie laterale del prisma

    S_{lat}=S_{tot}-2S_b

    Area della superficie di base del prisma

    S_{b}=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

     

    Per il calcolo dell'area di base è utile tenere a mente le formule dell'area dei poligoni.

    Area della superficie laterale del prisma retto

    Nel prisma retto, e in particolare nel prisma regolare, la superficie laterale equivale a un rettangolo avente per altezza l'altezza del prisma e la cui base ha la stessa misura del perimetro del poligono alla base del prisma.

     

    Superficie laterale prisma retto

    Sviluppo piano di un prisma retto.

     

    Di conseguenza l'area della superficie laterale di un prisma retto è l'area di un rettangolo e si calcola moltiplicando il perimetro di base per l'altezza del prisma.

    S_{lat}=2p \times h

    Per una tabella con tutte le formule del prisma retto vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sull'area del prisma

    Qui di seguito abbiamo proposto una serie di problemi svolti sul calcolo dell'area della superficie totale e dell'area della superficie totale del prisma, sia nel caso obliquo che in quello retto e regolare.

    1) Le facce laterali di un prisma a base quadrata sono quattro parallelogrammi congruenti con base e altezza che misurano rispettivamente 12 e 3 cm. Calcolare l'area del prisma sapendo che lo spigolo di base misura 5 cm.

    Svolgimento: indichiamo con B la base e con H l'altezza dei parallelogrammi che formano le facce laterali del prisma e calcoliamo l'area di un parallelogramma moltiplicando le misure delle dimensioni

    A_{parallelogramma} = B \times H = (12 \mbox{ cm}) \times (3 \mbox{ cm}) = 36 \mbox{ cm}^2

    Determiniamo l'area della superficie laterale del prisma

    S_{lat} = 4 \times A_{parallelogramma} = 4 \times (36 \mbox{ cm}^2) = 144 \mbox{ cm}^2

    Per trovare l'area della superficie totale ci manca l'area di base, che è l'area di un quadrato con il lato L di 5 cm, dunque

    S_b = L^2 = (5 \mbox{ cm})^2 = 25 \mbox{ cm}^2

    Concludiamo l'esercizio usando la formula per il calcolo dell'area della superficie totale

    \\ S_{tot}=S_{lat}+2S_b = 144 \mbox{ cm}^2 + 2 \times (25 \mbox{ cm}^2) = \\ \\ = 144 \mbox{ cm}^2 + 50 \mbox{ cm}^2 = 194 \mbox{ cm}^2

    2) Lo spigolo di base di un prisma regolare a base esagonale è di 10 mm e il suo volume è di 12990 mm3. Determinare l'area del prisma.

    Svolgimento: poiché abbiamo a che fare con un prisma regolare, teniamo presente che è retto per definizione.

    Calcoliamo l'area dell'esagono di base moltiplicando il quadrato dello spigolo di base

    L=10 \mbox{ mm}

    per la costante d'area dell'esagono (φ=2,598)

    S_b=L^2 \times \varphi = (10 \mbox{ mm})^2 \times 2,598 = (100 \mbox{ mm}^2) \times 2,598 = 259,8 \mbox{ mm}^2

    Ricaviamo poi la misura dell'altezza invertendo la formula del volume del prisma

    \\ V=S_b \times h \\ \\ h=\frac{V}{S_b}=\frac{12990 \mbox{ mm}^3}{259,8 \mbox{ mm}^2} = 50 \mbox{ mm}

    Possiamo ora calcolare l'area della superficie laterale

    S_{lat}=2p \times h = (6 \times L) \times h = 6 \times (10 \mbox{ mm}) \times (50 \mbox{ mm}) = 3000 \mbox{ mm}^2

    e l'area della superficie totale

    \\ S_{tot}=S_{lat}+2S_b = 3000 \mbox{ mm}^2 + 2 \times (259,8 \mbox{ mm}^2) = \\ \\ = 3000 \mbox{ mm}^2 + 519,6 \mbox{ mm}^2 = 3519,6 \mbox{ mm}^2

    3) In un prisma rettangolare retto il perimetro di base è di 32,2 metri e una delle dimensioni del rettangolo di base misura 6,9 metri. Sapendo che il prisma è alto 25 metri calcolarne l'area.

    Svolgimento: siano a e b le due dimensioni del rettangolo di base e supponiamo che

    a=6,9 \mbox{ m}

    Conoscendo la misura del perimetro del rettangolo

    2p=2a+2b=32,2 \mbox{ m}

    possiamo ricavare la misura della dimensione incognita

    b=\frac{2p-2a}{2}=\frac{32,2 \mbox{ m} - 2 \times (6,9 \mbox{ m})}{2} = \frac{32,2 \mbox{ m} - 13,8 \mbox{ m}}{2} = 9,2 \mbox{ m}

    per poi determinare:

    - l'area di base

    S_b = a \times b = (6,9 \mbox{ m}) \times (9,2 \mbox{ m}) = 63,48 \mbox{ m}^2

    - l'area della superficie laterale

    S_{lat} = 2p \times h = (32,2 \mbox{ m}) \times (25 \mbox{ m}) = 805 \mbox{ m}^2

    - l'area della superficie totale

    \\ S_{tot}=S_{lat}+2S_b = 805 \mbox{ m}^2 + 2 \times (63,48 \mbox{ m}^2) = \\ \\ = 805 \mbox{ m}^2 + 126,96 \mbox{ m}^2 = 931,96 \mbox{ m}^2

    4) Un prisma triangolare retto è alto 26 dm e ha per base un triangolo rettangolo avente il cateto maggiore lungo 10 dm e l'ipotenusa pari ai 5/4 di esso. Calcolare l'area della superficie laterale e della superficie totale del prisma.

    Svolgimento: chiamiamo c_1 il cateto minore, c_2 il cateto maggiore e i l'ipotenusa del triangolo rettangolo alla base del prisma. Sappiamo che

    \\ c_2=10 \mbox{ dm} \\ \\ i = \frac{5}{4}\times c_2 = \frac{5}{4} \times (10 \mbox{ dm}) = 12,5 \mbox{ dm}

    Calcoliamo la misura del cateto minore con il teorema di Pitagora

    \\ c_1=\sqrt{i^2-c_2^2}=\sqrt{(12,5 \mbox{ dm})^2 - (10 \mbox{ dm})^2} =\\ \\ = \sqrt{156,25 \mbox{ dm}^2 - 100 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{56,25 \mbox{ dm}^2} = 7,5 \mbox{ dm}

    per poi trovare area e perimetro di base

    \\ S_b=\frac{c_1 \times c_2}{2}=\frac{(7,5 \mbox{ dm}) \times (10 \mbox{ dm})}{2} = \frac{75 \mbox{ dm}^2}{2} = 37,5 \mbox{ dm}^2 \\ \\ \\ 2p=c_1+c_2+i=7,5 \mbox{ dm} + 10 \mbox{ dm} + 12,5 \mbox{ dm} = 30 \mbox{ dm}

    e concludere determinando l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale del prisma

    \\ S_{lat}=2p \times h = (30 \mbox{ dm}) \times (26 \mbox{ dm}) = 780 \mbox{ dm}^2 \\ \\ S_{tot}=S_{lat}+2S_b = 780 \mbox{ dm}^2 + 2 \times (37,5 \mbox{ dm}^2) = \\ \\ = 780 \mbox{ dm}^2 + 75 \mbox{ dm}^2 = 855 \mbox{ dm}^2

    5) L'altezza di prisma regolare quadrangolare è il triplo dello spigolo di base; calcolare l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale del prisma sapendo che il perimetro di base è di 24 cm.

    Svolgimento: la base di un prisma regolare quadrangolare è un quadrato, quindi possiamo calcolare la misura dello spigolo di base dividendo il perimetro per 4

    L=\frac{2p}{4}=\frac{24 \mbox{ cm}}{4}=6 \mbox{ cm}

    Fatto ciò calcoliamo l'area di base

    S_b=L^2=(6 \mbox{ cm})^2 = 36 \mbox{ cm}^2

    e la misura dell'altezza del prisma

    h=3L=3 \times (6 \mbox{ cm}) = 18 \mbox{ cm}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale

    \\ S_{lat}=2p \times h = (24 \mbox{ cm}) \times (18 \mbox{ cm}) = 432 \mbox{ cm}^2 \\ \\ S_{tot}=S_{lat}+2S_b = 432 \mbox{ cm}^2 + 2 \times (36 \mbox{ cm}^2) = \\ \\ = 432 \mbox{ cm}^2 + 72 \mbox{ cm}^2 = 504 \mbox{ cm}^2

    ***

    Concludiamo consigliandovi di dare un'occhiata alla nostra scheda di esercizi sul prisma, dove troverete altri problemi svolti con cui continuare a fare pratica. ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Geometria