Soluzioni
  • Il parallelepipedo a base quadrata è un poliedro le cui basi sono quadrati congruenti disposti su piani paralleli. Un parallelepipedo è, per definizione, un prisma che ha come basi dei parallelogrammi; poiché il quadrato è un particolare tipo di rettangolo, che a sua volta è un particolare tipo di parallelogramma, il parallelepipedo a base quadrata è l'equivalente del prisma a base quadrata.

    Chiarito ciò passiamo alla classificazione dei parallelepipedi a base quadrata, distinguendo tra il parallelepipedo a base quadrata retto e quello obliquo.

    Parallelepipedo a base quadrata obliquo

    Nel parallelepipedo obliquo a base quadrata le facce laterali sono parallelogrammi e l'altezza del parallelepipedo non coincide con alcuno spigolo laterale.

     

    Parallelepipedo a base quadrata obliquo

    Un parallelepipedo obliquo a base quadrata.

     

    Parallelepipedo a base quadrata retto

    Il parallelepipedo retto a base quadrata ha l'altezza parallela a ciascuno spigolo laterale, dunque le facce laterali sono rettangoli.

     

    Parallelepipedo a base quadrata retto

    Un parallelepipedo retto a base quadrata.

     

    Il cubo è un particolare tipo di parallelepipedo retto a base quadrata in cui la misura dell'altezza coincide con quella dello spigolo di base.

    Formule del parallelepipedo a base quadrata

    Passiamo all'elenco con tutte le formule del parallelepipedo a base quadrata, sia obliquo (caso generale) che retto. Prima però specifichiamo la corrispondenza tra i nomi e i simboli che abbiamo usato... ;)

    V è il volume, S_{tot} l'area della superficie totale, S_{lat} l'area della superficie laterale, S_b l'area di base, 2p il perimetro di base, L lo spigolo di base (lato del quadrato), h l'altezza del parallelepipedo, d la diagonale del quadrato di base e D la diagonale del parallelepipedo retto a base quadrata.

     

    Volume del parallelepipedo a base quadrata

    V=L^2 \times h

    Altezza (dal volume)

    h=\frac{V}{L^2}

    Spigolo di base (dal volume)

    L=\sqrt{\frac{V}{h}}

    Superficie di base (area del quadrato)

    S_b=L^2

    Perimetro di base (perimetro del quadrato)

    2p=4L

    Superficie totale del parallelepipedo a base quadrata

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_{lat}=S_{tot}-2S_b

    Superficie di base (dalla totale)

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Formule del parallelepipedo retto a base quadrata

     

    Superficie laterale del parallelepipedo retto a base quadrata

    S_{lat}=2p \times h\\ \\ S_{lat}= 4L \times h

    Altezza (dall'area della superficie laterale)

    h=\frac{S_{lat}}{4L}

    Perimetro (dall'area della superficie laterale)

    2p=\frac{S_{lat}}{h}

    Spigolo di base (dall'area della superficie laterale)

    L=\frac{S_{lat}}{4h}

    Superficie totale del parallelepipedo retto a base quadrata

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b\\ \\ S_{tot}= 4L \times h + 2L^2

    Altezza (dall'area della superficie totale)

    h=\frac{S_{tot}-2L^2}{4L}

    Diagonale del parallelepipedo retto a base quadrata (teorema di Pitagora)

    \\ D=\sqrt{d^2+h^2} \\ \\ D=\sqrt{2L^2+h^2}

    Altezza (dalla diagonale)

    h=\sqrt{D^2-2L^2}

    Nota: tenere a mente le formule del quadrato.

     

     

    Le formule del parallelepipedo a base quadrata sono una particolarizzazione delle formule del prisma e del parallelepipedo, dunque se le avete già studiate non c'è nulla di nuovo da dover ricordare.

    Esercizi svolti sul parallelepipedo a base quadrata

    Vi proponiamo ora alcuni problemi svolti sul calcolo di volume, area, altezza e diagonale del parallelepipedo a base quadrata, utili per prendere confidenza con le formule elencate. Ogni esercizio è interamente svolto e corredato dai calcoli.

    1) Calcolare il volume di un parallelepipedo obliquo a base quadrata sapendo che l'area di base è di 36 metri quadrati e che l'altezza è il triplo dello spigolo di base.

    Svolgimento: determiniamo la misura dello spigolo di base estraendo la radice quadrata dell'area di base

    L=\sqrt{S_b}=\sqrt{36 \mbox{ m}^2} = 6 \mbox{ m}

    Possiamo ora calcolare la misura dell'altezza del parallelepipedo

    h=3L = 3 \times (6 \mbox{ m}) = 18 \mbox{ m}

    per poi individuare il volume

    V=S_b \times h = (36 \mbox{ m}^2) \times (18 \mbox{ m}) = 648 \mbox{ m}^3

    2) L'area della superficie laterale di un parallelepipedo retto a base quadrata è di 240 centimetri quadrati e il perimetro di base misura 20 centimetri. Calcolare la misura dell'altezza, il volume, l'area di base e l'area della superficie totale.

    Svolgimento: calcoliamo la misura dell'altezza come rapporto tra l'area della superficie laterale e il perimetro di base

    h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{240 \mbox{ cm}^2}{20 \mbox{ cm}} = 12 \mbox{ cm}

    Determiniamo quindi la misura dello spigolo di base dividendo il perimetro per 4

    L=\frac{2p}{4}=\frac{20 \mbox{ cm}}{4}=5 \mbox{ cm}

    e ricaviamo l'area di base elevando al quadrato la misura dello spigolo

    S_b=L^2=(5 \mbox{ cm})^2 = 25 \mbox{ cm}^2

    Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'area della superficie totale

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b = 240 \mbox{ cm}^2 + 2 \times (25 \mbox{ cm}^2) = 240 \mbox{ cm}^2 + 50 \mbox{ cm}^2 = 290 \mbox{ cm}^2

    e il volume del parallelepipedo

    V=S_b \times h = (25 \mbox{ cm}^2) \times (12 \mbox{ cm}) = 300 \mbox{ cm}^3

    3) Calcolare la misura dell'altezza, il volume, l'area di base, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale di un parallelepipedo retto a base quadrata di cui è noto che la diagonale misura 17 dm e che lo spigolo di base è di 4√2 dm.

    Svolgimento: essendo note le misure di diagonale e spigolo di base possiamo calcolare la misura dell'altezza del parallelepipedo

    \\ h=\sqrt{D^2-2L^2} = \sqrt{(17 \mbox{ dm})^2 - 2 \times (4 \sqrt{2} \mbox{ dm})^2} = \\ \\ =\sqrt{289 \mbox{ dm}^2 - 2 \times (32 \mbox{ dm}^2)} = \sqrt{289 \mbox{ dm}^2 - 64 \mbox{ dm}^2} = \\ \\ = \sqrt{225 \mbox{ dm}^2} = 15 \mbox{ dm}

    e successivamente determinare:

    - l'area di base

    S_b=L^2=(4 \sqrt{2} \mbox{ dm})^2 = 32 \mbox{ dm}^2

    - il volume, come prodotto tra area di base e altezza

    V=S_b \times h = (32 \mbox{ dm}^2) \times (15 \mbox{ dm}) = 480 \mbox{ dm}^3

    - l'area della superficie laterale, moltiplicando il perimetro di base per l'altezza

    S_{lat} = 2p \times h = 4L \times h = 4 \times (4 \sqrt{2} \mbox{ dm}) \times (15 \mbox{ dm}) = 240\sqrt{2} \mbox{ dm}^2

    - l'area della superficie totale come somma tra area della superficie laterale e il doppio dell'area di base

    \\ S_{tot}=S_{lat}+2S_b = 240\sqrt{2} \mbox{ dm}^2 + 2 \times (32 \mbox{ dm}^2) = \\ \\ = 240\sqrt{2} \mbox{ dm}^2 + 64 \mbox{ dm}^2 = (240\sqrt{2}+64) \mbox{ dm}^2

    ***

    È tutto! Con la barra di ricerca interna potete trovare altri problemi svolti sul parallelepipedo a base quadrata con cui continuare ad allenarvi. ;)

    Risposta di Galois
 
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