Soluzioni
  • L'area del cilindro è l'area della superficie totale del cilindro e si calcola sommando l'area della superficie laterale al doppio dell'area di base.

     

    Area cilindro

    Area cilindro = Slat + 2Sb

     

    Formule dell'area del cilindro

    Indichiamo con S_{tot} l'area della superficie totale, con S_{lat} l'area della superficie laterale, con S_b l'area di base, con 2p il perimetro di base, con r il raggio, con \pi la costante Pi Greco, con h l'altezza e con V il volume del cilindro.

    Nella tabella sottostante abbiamo riportato tutte le formule per l'area del cilindro, comprese le formule dell'area della superficie laterale e dell'area di base.

     

    Area di base con il raggio

    S_b=\pi r^2

    Area di base con volume e altezza

    S_b=\frac{V}{h}

    Area di base con superficie totale e superficie laterale

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Area della superficie laterale con perimetro di base e altezza

    S_{lat}=2p \times h

    Area della superficie laterale con raggio e altezza

    S_{lat}=2\pi r \times h

    Area della superficie laterale con superficie totale e superficie di base

    S_{lat}=S_{tot}-2S_b

    Area della superficie totale con raggio e altezza

    S_{tot}=2\pi r h + 2\pi r^2

    Area della superficie totale con superficie laterale e superficie di base

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

     

    Per qualsiasi approfondimento sul cilindro e per un elenco di tutte le formule, tra cui le formule inverse dell'area, vi invitiamo a leggere la lezione del link.

    Esercizi svolti sull'area del cilindro

    Passiamo in rassegna le precedenti formule spiegando come si ricavano e mostrandone un esempio di applicazione. Così facendo dovrebbe essere più semplice memorizzarle e non dovreste avere più difficoltà nel risolvere i problemi sull'area del cilindro. ;)

    Calcolo dell'area di base del cilindro

    A seconda delle informazioni di cui si dispone si può calcolare l'area di base del cilindro:

    - moltiplicando il quadrato del raggio per la costante Pi Greco (formula dell'area del cerchio)

    S_b=\pi r^2

    - dividendo il volume per la misura dell'altezza (formula inversa del volume del cilindro)

    S_b=\frac{V}{h}

    - dividendo per 2 la differenza tra area della superficie totale e area della superficie laterale

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Esempio

    Il volume di un cilindro è di 75,36 metri cubi e l'altezza è il triplo del raggio. Calcolare l'area di base.

    Svolgimento: sappiamo che

    \\ V=75,36 \mbox{ m}^3 \\ \\ h=3r

    Nella formula del volume cilindro

    V=\pi r^2 \times h

    sostituiamo h con 3r

    V=\pi r^2 \times h = \pi r^2 \times 3r = 3\pi r^3

    Invertiamo la precedente relazione in favore del raggio e calcoliamone la misura

    r=\sqrt[3]{\frac{V}{3\pi}} \simeq \sqrt[3]{\frac{V}{3 \times 3,14}} \simeq \sqrt[3]{\frac{75,36 \mbox{ m}^3}{9,42}} \simeq \sqrt[3]{8 \mbox{ m}^3} = 2 \mbox{ m}

    Possiamo ora calcolare l'area di base usando la formula dell'area del cerchio

    S_b=\pi r^2 \simeq 3,14 \times (2 \mbox{ m})^2 \simeq 3,14 \times (4 \mbox{ m}^2) \simeq 12,56 \mbox{ m}^2

    oppure dividendo il volume per la misura dell'altezza

    S_b=\frac{V}{h}=\frac{V}{3r}=\frac{75,36 \mbox{ m}^3}{3 \times (2\mbox{ m})} = \frac{75,36 \mbox{ m}^3}{6 \mbox{ m}} = 12,56 \mbox{ m}^2

    Calcolo dell'area della superficie laterale del cilindro

    Dallo sviluppo piano del cilindro si deduce che l'area della superficie laterale di un cilindro è l'area di un rettangolo la cui altezza coincide con l'altezza del cilindro e la cui base ha la stessa misura del perimetro del cerchio di base.

    Determinare l'area della superficie laterale equivale quindi a calcolare l'area di un rettangolo, che è data dal prodotto delle sue dimensioni

    S_{lat}=2p \times h = 2\pi r \times h

    In alternativa l'area della superficie laterale può essere calcolata come differenza tra l'area della superficie totale e il doppio dell'area di base

    S_{lat}=S_{tot}-2S_b

    Esempio

    Calcolare l'area della superficie laterale di un cilindro alto 16 cm e il cui volume è di 1256 cm3.

    Svolgimento: determiniamo l'area di base come rapporto tra volume e altezza

    S_b=\frac{V}{h}=\frac{1256 \mbox{ cm}^3}{16 \mbox{ cm}} = 78,5 \mbox{ cm}^2

    dopodiché calcoliamo la misura del raggio di base estraendo la radice quadrata del rapporto tra area di base e Pi Greco

    r=\sqrt{\frac{S_b}{\pi}} \simeq \sqrt{\frac{78,5 \mbox{ cm}^2}{3,14}} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per trovare l'area della superficie laterale

    S_{lat}=2p \times h = 2\pi r \times h \simeq 2 \times 3,14 \times (5 \mbox{ cm}) \times (16 \mbox{ cm}) \simeq 502,4 \mbox{ cm}^2

    Calcolo dell'area della superficie totale del cilindro

    Per calcolare l'area della superficie totale si deve sommare l'area della superficie laterale al doppio dell'area di base

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

    Sostituendo S_{lat} e S_b con

    \\ S_{lat}=2\pi r \times h \\ \\ S_b=\pi r^2

    si ricava la formula diretta utile a calcolare l'area della superficie totale con raggio e altezza

    S_{tot}=2\pi r h + 2 \pi r^2

    Esempio

    Calcolare l'area della superficie totale di un cilindro sapendo che il raggio di base misura 1,5 metri e che l'altezza è di 12 metri.

    Svolgimento:

    \\ S_{tot}=2\pi r h + 2 \pi r^2 \simeq 2 \times 3,14 \times (1,5 \mbox{ m}) \times (12 \mbox{ m}) + 3,14 \times (1,5 \mbox{ m})^2 \simeq \\ \\ \simeq 113,04 \mbox{ m}^2 + 3,14 \times (2,25 \mbox{ m}^2) \simeq 113,04 \mbox{ m}^2 + 7,065 \mbox{ m}^2 \simeq 120,105 \mbox{ m}^2

    ***

    Non c'è altro da aggiungere, se non consigliarvi di dare un'occhiata alla scheda di esercizi sul cilindro, dove troverete altri problemi svolti. ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Geometria