Soluzioni
  • Il prisma a base rettangolare è un prisma quadrangolare con basi date da due rettangoli. Possiamo anche definire il prisma a base rettangolare come un parallelepipedo le cui basi sono rettangoli, o come un poliedro avente come basi due rettangoli congruenti e paralleli.

    Dalle varie definizioni di evince che il prisma rettangolare è un solido convesso; in particolare possiamo distinguere tra prisma rettangolare obliquo e prisma rettangolare retto.

    Prisma a base rettangolare obliquo

    Un prisma rettangolare obliquo è caratterizzato da spigoli laterali non paralleli all'altezza del prisma. Di conseguenza le facce laterali sono parallelogrammi e non possono essere rettangoli.

     

    Prisma a base rettangolare obliquo

    Un prisma obliquo a base rettangolare.

     

    Prisma a base rettangolare retto

    Nel prisma rettangolare retto l'altezza coincide con ciascuno spigolo laterale, e dunque le facce laterali sono rettangoli. Il prisma retto a base rettangolare è anche detto parallelepipedo rettangolo.

     

    Prisma a base rettangolare retto

    Un prisma retto a base rettangolare
    (= parallelepipedo rettangolo).

     

    Formule del prisma a base rettangolare

    Passiamo ad elencare tutte le formule del prisma rettangolare sia nel caso generale che nel caso retto, tenendo a mente che il caso retto eredita tutte le formule del caso generale.

    Indichiamo con a, b le dimensioni del rettangolo di base, con d la diagonale di base, con 2p il perimetro, con S_b l'area di base, con h l'altezza del prisma, con S_(tot) l'area della superficie totale, con S_(lat) l'area della superficie laterale, con V il volume e con D la diagonale del prisma rettangolare retto.

     

    Volume del prisma a base rettangolare (qualsiasi)

    V = S_b×h

    Altezza (dal volume)

    h = (V)/(S_b)

    Superficie di base (dal volume)

    S_b = (V)/(h)

    Superficie di base (area del rettangolo)

    S_b = a×b

    Perimetro di base (perimetro del rettangolo)

    2p = 2(a+b)

    Superficie totale del prisma a base rettangolare (qualsiasi)

    S_(tot) = S_(lat)+2S_b

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_(lat) = S_(tot)-2S_b

    Superficie di base (dalla totale)

    S_b = (S_(tot)-S_(lat))/(2)

    Formule del prisma retto a base rettangolare

     

    Superficie laterale del prisma retto a base rettangolare

    S_(lat) = 2p×h ; S_(lat) = 2(ah+bh)

    Altezza (dall'area della superficie laterale)

    h = (S_(lat))/(2p)

    Perimetro (dall'area della superficie laterale)

    2p = (S_(lat))/(h)

    Superficie totale del prisma retto a base rettangolare

    S_(tot) = S_(lat)+2S_b ; S_(tot) = 2(ah+bh+ab)

    Altezza (dall'area della superficie totale)

    h = (S_(tot)-2ab)/(2(a+b))

    Diagonale del prisma retto a base rettangolare (teorema di Pitagora)

     D = √(d^2+h^2) ; D = √(a^2+b^2+h^2)

    Altezza (con le diagonali)

    h = √(D^2-d^2)

    Nota: tenere a mente le formule del rettangolo.

     

     

    Le formule del prisma a base rettangolare sono una particolarizzazione delle formule del prisma che trovate nella pagina del link.

    Esercizi svolti sul prisma a base rettangolare

    Ecco una serie di problemi svolti sul prisma a base rettangolare, ciascuno dei quali è spiegato nei minimi dettagli e interamente risolto.

    1) Una delle dimensioni della base di un prisma rettangolare è di 16 cm e l'altra è congruente alla sua metà. Calcolare il volume del prisma sapendo che la sua l'altezza equivale ai 3/2 della dimensione maggiore.

    Svolgimento: indichiamo con a e b le due dimensioni del rettangolo di base e con h l'altezza del prisma. Dalle informazioni fornite sappiamo che

     a = 16 cm ; b = (1)/(2)a = (1)/(2)×(16 cm) = 8 cm ; h = (3)/(2)a = (3)/(2)×(16 cm) = 24 cm

    Abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare il volume del prisma

    V = S_b×h = a×b×h = (16 cm)×(8 cm)×(24 cm) = 3072 cm^3

    2) Di un prisma rettangolare obliquo è noto che l'area della superficie totale è di 142 cm2 e che l'area della superficie laterale è di 90 cm2. Trovare il suo volume sapendo che l'altezza è di 15 cm.

    Svolgimento: per calcolare il volume ci manca l'area della superficie di base, che si calcola dividendo per 2 la differenza tra l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale

    S_b = (S_(tot)-S_(lat))/(2) = (142 cm^2-90 cm^2)/(2) = (52 cm^2)/(2) = 26 cm^2

    Possiamo ora determinare il volume moltiplicando l'area di base per l'altezza

    V = S_b×h = (26 cm^2)×(15 cm) = 390 cm^3

    3) Il volume di un prisma retto a base rettangolare è di 32 metri cubi, il perimetro di base misura 10 metri e una delle dimensioni di base è di 4 metri. Calcolare l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale del prisma.

    Svolgimento: siano a e b le due dimensioni di base. Supponendo che

    a = 4 m

    possiamo ricavare la misura della dimensione b invertendo la formula del perimetro del rettangolo

     2p = 2(a+b) = 2a+2b ; b = (2p-2a)/(2) = (10 m-2×(4 m))/(2) = (10 m-8 m)/(2) = (2 m)/(2) = 1 m

    Calcoliamo poi l'area di base

    S_b = a×b = (4 m)×(1 m) = 4 m^2

    e determiniamo la misura dell'altezza del prisma dividendo il volume per l'area di base

    h = (V)/(S_b) = (32 m^3)/(4 m^2) = 8 m

    Possiamo ora calcolare l'area della superficie laterale

    S_(lat) = 2p×h = (10 m)×(8 m) = 80 m^2

    e l'area della superficie totale

    S_(tot) = S_(lat)+2S_b = 80 m^2+2×(4 m^2) = 80 m^2+8 m^2 = 88 m^2

    4) Le dimensioni di base di un prisma rettangolare retto misurano 3 cm e 4 cm. Calcolare le misure di diagonale e altezza del prisma, il suo volume e l'area della superficie totale, sapendo che l'area della superficie laterale è di 168 metri quadrati.

    Svolgimento: calcoliamo le misure di area e perimetro di base

     S_b = a×b = (3 cm)×(4 cm) = 12 cm^2 ; 2p = 2(a+b) = 2×(3 cm+4 cm) = 2×(7 cm) = 14 cm

    per poi determinare:

    - la misura dell'altezza del prisma dividendo l'area della superficie laterale per il perimetro

    h = (S_(lat))/(2p) = (168 m^3)/(14 cm) = 12 cm

    - il volume, moltiplicando l'area di base per l'altezza

    V = S_b×h = (12 cm^2)×(12 cm) = 144 cm^3

    - l'area della superficie laterale come somma tra area della superficie laterale e il doppio dell'area di base

    S_(tot) = S_(lat)+2S_b = 168 cm^2+2×(12 cm^2) = 168 cm^2+24 cm^2 = 192 cm^2

    Per concludere l'esercizio dobbiamo calcolare la misura della diagonale del prisma

     D = √(a^2+b^2+h^2) = √((3 cm)^2+(4 cm)^2+(12 cm)^2) = √(9 cm^2+16 cm^2+144 cm^2) = √(169 cm^2) = 13 cm

    ***

    È davvero tutto! Se siete alla ricerca di altri problemi svolti sul prisma a base rettangolare potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
 
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