Soluzioni
  • Il prisma a base quadrata è un prisma quadrangolare le cui basi sono quadrati. In generale, un prisma a base quadrata è definito come un poliedro avente come basi due quadrati uguali e disposti su piani paralleli, e in cui le facce laterali sono parallelogrammi.

    Un prisma a base quadrata può essere obliquo o retto. Si dice:

    - prisma obliquo a base quadrata un prisma a base quadrata in cui l'altezza non coincide con alcuno spigolo laterale;

    - prisma retto a base quadrata un prisma retto in cui le basi sono quadrati. Di conseguenza le facce laterali sono rettangoli e la misura dell'altezza del prisma coincide con quella dello spigolo laterale. Il prisma retto a base quadrata è anche detto prisma regolare quadrangolare.

     

    Prisma a base quadrata obliquoPrisma a base quadrata retto

    Un prisma obliquo a base quadrata

    Un prisma retto a base quadrata

     

    Formule del prisma a base quadrata

    Passiamo alle formule del prisma a base quadrata nel caso generale e nel caso retto. Ovviamente il caso retto eredita tutte le formule del caso generale, cui se ne aggiungono altre più specifiche.

    Abbiamo indicato con V il volume, con S_{tot} l'area della superficie totale, con S_{lat} l'area della superficie laterale, con S_b l'area di base e con 2p il perimetro di base. Inoltre, L è lo spigolo di base (lato del quadrato), h l'altezza del prisma, d la diagonale del quadrato di base e D la diagonale del prisma retto a base quadrata.

     

    Volume del prisma a base quadrata (qualsiasi)

    V=L^2 \times h

    Altezza (dal volume)

    h=\frac{V}{L^2}

    Spigolo di base (dal volume)

    L=\sqrt{\frac{V}{h}}

    Superficie di base (area del quadrato)

    S_b=L^2

    Perimetro di base (perimetro del quadrato)

    2p=4L

    Superficie totale del prisma a base quadrata (qualsiasi)

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_{lat}=S_{tot}-2S_b

    Superficie di base (dalla totale)

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Formule del prisma retto a base quadrata

     

    Superficie laterale del prisma retto a base quadrata

    S_{lat}=2p \times h\\ \\ S_{lat} = 4L \times h

    Altezza (dall'area della superficie laterale)

    h=\frac{S_{lat}}{4L}

    Perimetro (dall'area della superficie laterale)

    2p=\frac{S_{lat}}{h}

    Spigolo di base (dall'area della superficie laterale)

    L=\frac{S_{lat}}{4h}

    Superficie totale del prisma retto a base quadrata

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b \\ \\ S_{tot}= 4L \times h + 2L^2

    Altezza (dall'area della superficie totale)

    h=\frac{S_{tot}-2L^2}{4L}

    Diagonale del prisma retto a base quadrata (teorema di Pitagora)

    \\ D=\sqrt{d^2+h^2} \\ \\ D=\sqrt{2L^2+h^2}

    Altezza (dalla diagonale)

    h=\sqrt{D^2-2L^2}

    Nota: tenere a mente le formule del quadrato.

     

     

    Le formule del prisma a base quadrata e del prisma retto a base quadrata sono un caso particolare delle formule del prisma, che trovate nella pagina del link.

    Esercizi svolti sul prisma a base quadrata

    Fissiamo la nostra attenzione sugli esercizi e risolviamo qualche problema sul prisma a base quadrata. Abbiamo riportato tutti i calcoli e spiegato ogni passaggio necessario giungere alla soluzione.

    1) Calcolare il volume di un prisma obliquo a base quadrata di cui è noto che la diagonale di base misura 4√2 cm e che l'altezza del prisma è di 12 cm.

    Svolgimento: calcoliamo la misura dello spigolo di base (lato del quadrato) dividendo la misura della diagonale per la radice quadrata di 2

    L=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2} \mbox{ cm}}{\sqrt{2}} = 4 \mbox{ cm}

    dopodiché troviamo l'area di base

    S_b=L^2=(4 \mbox{ cm})^2 = 16 \mbox{ cm}^2

    e, infine, calcoliamo il volume come prodotto tra area di base e altezza del prisma

    V=S_b \times h = (16 \mbox{ cm}^2) \times (12 \mbox{ cm}) = 192 \mbox{ cm}^3

    2) In un prisma retto a base quadrata il perimetro di base è di 6 metri e l'altezza del prisma è il triplo dello spigolo di base. Calcolare il volume, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale del prisma.

    Svolgimento: per calcolare il volume, l'area della superficie laterale e l'area della superficie laterale ci servono le misure dello spigolo di base e dell'altezza del prisma.

    Determiniamo la misura dello spigolo di base dividendo il perimetro per 4

    L=\frac{2p}{4}=\frac{6 \mbox{ m}}{4}=1,5 \mbox{ m}

    Sappiamo che l'altezza è il triplo dello spigolo di base, dunque

    h=3L=3 \times (1,5 \mbox{ m}) = 4,5 \mbox{ m}

    Possiamo ora calcolare:

    - il volume del prisma

    \\ V=S_b \times h = L^2 \times h = (1,5 \mbox{ m})^2 \times (4,5 \mbox{ m}) = \\ \\ = (2,25 \mbox{ m}^2) \times (4,5 \mbox{ m}) = 10,125 \mbox{ m}^3

    - l'area della superficie laterale

    S_{lat} = 2p \times h = (6 \mbox{ m}) \times (4,5 \mbox{ m}) = 27 \mbox{ m}^2

    - l'area della superficie totale

    \\ S_{tot} = S_{lat} + 2S_b = S_{lat} + 2 \times L^2 = 27 \mbox{ m}^2 + 2 \times [(1,5 \mbox{ m})^2] = \\ \\ = 27 \mbox{ m}^2 + 2 \times (2,25 \mbox{ m}^2) = 27 \mbox{ m}^2 + 4,5 \mbox{ m}^2 = 31,5 \mbox{ m}^2

    3) Determinare la misura dell'altezza di un prisma retto a base quadrata sapendo che l'area di base è di 8 cm2 e che la sua diagonale misura 5 cm.

    Svolgimento: ricaviamo la misura dello spigolo di base estraendo la radice quadrata dell'area

    L=\sqrt{S_b}=\sqrt{8 \mbox{ cm}^2} = 2\sqrt{2} \mbox{ cm}

    per poi determinare la misura della diagonale di base

    d=\sqrt{2}L=\sqrt{2} \times (2\sqrt{2} \mbox{ cm}) = 4 \mbox{ cm}

    Possiamo ora calcolare la misura dell'altezza del prisma con il teorema di Pitagora

    \\ h=\sqrt{D^2-d^2} = \sqrt{(5 \mbox{ cm})^2 - (4 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2 - 16 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{9 \mbox{ cm}^2}= 3 \mbox{ cm}

    4) L'area della superficie totale di un prisma retto a base quadrata è di 210 dm2 e l'area della superficie laterale è di 160 dm2. Calcolare le misure di spigolo di base, altezza e diagonale del prisma.

    Svolgimento: determiniamo l'area della superficie di base dividendo per 2 la differenza tra l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}=\frac{210 \mbox{ dm}^2 - 160 \mbox{ dm}^2}{2} = \frac{50 \mbox{ dm}^2}{2} = 25 \mbox{ dm}^2

    Estraendo la radice quadrata dell'area di base si ricava la misura dello spigolo di base

    L=\sqrt{S_b}=\sqrt{25 \mbox{ dm}^2} = 5 \mbox{ dm}

    Calcoliamo la misura dell'altezza del prisma dividendo l'area della superficie laterale per il perimetro di base

    h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{S_{lat}}{4L}=\frac{160 \mbox{ dm}^2}{4 \times (5 \mbox{ dm})}=\frac{160 \mbox{ dm}^2}{20 \mbox{ dm}}=8 \mbox{ dm}

    per poi determinare la misura della diagonale del prisma con la relativa formula

    \\ D=\sqrt{2L^2+h^2} = \sqrt{2 \times \left(5 \mbox{ dm}\right)^2 + (8 \mbox{ dm})^2} = \sqrt{2 \times (25 \mbox{ dm}^2) + 64 \mbox{ dm}^2} = \\ \\ = \sqrt{50 \mbox{ dm}^2 + 64 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{114 \mbox{ dm}^2} \simeq 10,68 \mbox{ dm}

    ***

    È tutto! Con la barra di ricerca interna potete trovare altri problemi svolti sul prisma a base quadrata con cui continuare ad allenarvi. ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Geometria