Limite fratto con rapporto di infinitesimi

Ho un limite di una funzione fratta che genera un rapporto di infinitesimi e volevo sapere quale strategia usare per calcolarlo

lim_(x → 1)(√(x)−1)/(x−1)

Domanda di alice
Soluzione

Il limite

lim_(x → 1)(√(x)−1)/(x−1) = (•)

genera una forma indeterminata del tipo [(0)/(0)] che può essere risolta in un passaggio.

È sufficiente osservare che il termine x−1 si può scomporre secondo la regola sulla differenza di quadrati, ossia

x−1 = (√(x)−1)(√(x)+1) con x ≥ 0

Tale relazione è valida in un intorno sufficientemente piccolo di x_0 = 1, valore a cui tende la variabile x, dunque possiamo usarla per calcolare il limite.

Sostituendo la scomposizione del denominatore possiamo semplificare e giungere facilmente al risultato mediante sostituzione diretta

 (•) = lim_(x → 1)(√(x)−1)/((√(x)−1)(√(x)+1)) = lim_(x → 1)(1)/(√(x)+1) = (1)/(2)

Fatto.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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