Limite fratto con rapporto di infinitesimi

Question

Ho un limite di una funzione fratta che genera un rapporto di infinitesimi e volevo sapere quale strategia usare per calcolarlo lim_(x → 1)(√(x)−1)/(x−1)

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → 1)(√(x)−1)/(x−1) = (•) genera una forma indeterminata del tipo [(0)/(0)] che può essere risolta in un passaggio. È sufficiente osservare che il termine x−1 si può scomporre secondo la regola sulla differenza di quadrati, ossia x−1 = (√(x)−1)(√(x)+1) con x ≥ 0 Tale relazione è valida in un intorno sufficientemente piccolo di x_0 = 1, valore a cui tende la variabile x, dunque possiamo usarla per calcolare il limite. Sostituendo la scomposizione del denominatore possiamo semplificare e giungere facilmente al risultato mediante sostituzione diretta ; (•) = lim_(x → 1)(√(x)−1)/((√(x)−1)(√(x)+1)) = lim_(x → 1)(1)/(√(x)+1) = (1)/(2) Fatto.