Soluzioni
  • Si dice altezza del cilindro la distanza tra i due cerchi opposti e paralleli che individuano le basi del cilindro. Equivalentemente, l'altezza di un cilindro può essere definita come il lato del rettangolo attorno al quale avviene la rotazione che genera il cilindro.

     

    Altezza cilindro

    Altezza h di un cilindro.

     

    Formule per l'altezza del cilindro

    La misura dell'altezza di un cilindro può essere calcolata dal volume, dall'area della superficie laterale o dall'area della superficie totale e si usano formule differenti a seconda dei dati che si hanno a disposizione.

    Qui di seguito abbiamo elencato tutte le formule dell'altezza del cilindro, in cui è stato indicato con V il volume, con S_b l'area di base, con S_{lat} l'area della superficie laterale, con S_{tot} l'area della superficie totale, con 2p il perimetro del cerchio di base, con r il raggio di base, con h l'altezza del cilindro e con \pi la costante Pi Greco (\pi \simeq 3,14).

     

    Altezza del cilindro con volume e area di base

    h=\frac{V}{S_b}

    Altezza del cilindro con volume e raggio di base

    h=\frac{V}{\pi r^2}

    Altezza del cilindro con area della superficie laterale e perimetro di base

    h=\frac{S_{lat}}{2p}

    Altezza del cilindro con area della superficie laterale e raggio

    h=\frac{S_{lat}}{2\pi r}

    Altezza del cilindro con area della superficie totale, area e perimetro di base

    h=\frac{S_{tot} - 2S_b}{2p}

    Altezza del cilindro con area della superficie totale e raggio

    h=\frac{S_{tot}-2\pi r^2}{2\pi r}

    Altezza del cilindro equilatero

    h=2r

     

    Per una tabella completa con tutte le formule del cilindro e per leggere tutte le sue proprietà vi rimandiamo al formulario del link.

    Esercizi svolti sull'altezza del cilindro

    Risolviamo ora una serie di problemi sul calcolo della misura dell'altezza di un cilindro; vedremo un esercizio per tipologia, analizzando le formule riportate in tabella una per volta.

    Calcolo altezza cilindro con il volume

    Per determinare la misura dell'altezza dal volume si deve dividere il volume del cilindro per l'area di base

    h=\frac{V}{S_b}

    Equivalentemente, si può dividere il volume per il prodotto tra Pi Greco e il quadrato della misura del raggio

    h=\frac{V}{\pi r^2}

    Esempio

    Il volume di un cilindro è di 282,6 metri cubi e il diametro del cerchio di base misura 6 metri. Calcolare la misura dell'altezza del cilindro.

    Svolgimento: determiniamo la misura del raggio di base dividendo il diametro per 2

    r=\frac{d}{2}=\frac{6 \mbox{ m}}{2}=3 \mbox{ m}

    Calcoliamo la misura dell'altezza dividendo il volume per \pi r^2

    h=\frac{V}{\pi r^2} \simeq \frac{282,6 \mbox{ m}^3}{3,14 \times (3 \mbox{ m})^2} \simeq \frac{282,6 \mbox{ m}^3}{3,14 \times (9 \mbox{ m}^2)} \simeq \frac{282,6 \mbox{ m}^3}{28,26 \mbox{ m}^2} \simeq 10 \mbox{ m}

    In alternativa avremmo potuto calcolare l'area del cerchio di base

    S_b=\pi \times \frac{d^2}{4} \simeq 3,14 \times \frac{(6 \mbox{ m})^2}{4} \simeq 3,14 \times \frac{36 \mbox{ m}^2}{4} \simeq 3,14 \times (9 \mbox{ m}) \simeq 28,26 \mbox{ m}^2

    per poi determinare la misura dell'altezza dividendo il volume per l'area di base

    h=\frac{V}{S_b}=\frac{282,6 \mbox{ m}^3}{28,26 \mbox{ m}^2} = 10 \mbox{ m}

    Calcolo altezza cilindro con l'area della superficie laterale

    L'area della superficie laterale di un cilindro è il prodotto tra il perimetro del cerchio di base e l'altezza del cilindro

    S_{lat}=2p \times h

    Invertendo la precedente relazione in favore di h otteniamo la formula utile a calcolare la misura dell'altezza

    h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{S_{lat}}{2\pi r}

    Esempio

    Il raggio del cerchio alla base di un cilindro misura 1,5 metri. Determinare la misura dell'altezza del cilindro sapendo che l'area della superficie laterale è di 47,1 metri quadrati.

    Svolgimento: calcoliamo la misura del perimetro di base

    2p=2\pi r \simeq 2 \times 3,14 \times (1,5 \mbox{ m}) \simeq 9,42 \mbox{ m}

    e determiniamo la misura dell'altezza dividendo l'area della superficie laterale per la misura del perimetro

    h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{47,1 \mbox{ m}^2}{9,42 \mbox{ m}} = 5 \mbox{ m}

    Calcolo altezza cilindro con l'area della superficie totale

    Per calcolare la misura dell'altezza dall'area della superficie totale dobbiamo disporre della misura del raggio di base o di qualche altro dato utile per poterne ricavare la misura.

    L'area della superficie totale di un cilindro è, infatti, la somma tra l'area della superficie laterale e il doppio dell'area di base

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

    Ricordando che

    \\ S_{lat} = 2p \times h = 2 \pi r \times h \\ \\ S_b = \pi r^2

    Sostituendo nella precedente formula otteniamo

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b = (2p \times h) + 2 \times (\pi r^2) = 2\pi r h + 2\pi r^2

    ossia

    S_{tot}=2\pi r h + 2\pi r^2

    Invertendola in favore di h si ricava la formula per la misura dell'altezza con area della superficie totale e raggio

    h=\frac{S_{tot}-2\pi r^2}{2\pi r}

    che possiamo anche riscrivere come

    h=\frac{S_{tot}-2 S_b}{2p}

    Esempio

    L'area della superficie totale di un cilindro è di 408,2 cm2 e l'area di base è di 78,5 cm2. Calcolare la misura dell'altezza.

    Svolgimento: troviamo la misura del raggio del cerchio di base estraendo la radice quadrata del rapporto tra l'area di base e la costante Pi Greco

    r=\sqrt{\frac{S_b}{\pi}} \simeq \sqrt{\frac{78,5 \mbox{ cm}^2}{3,14}} \simeq \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} \simeq 5 \mbox{ m}

    dopodiché troviamo il perimetro di base

    2p=2\pi r \simeq 2 \times 3,14 \times (5 \mbox{ cm}) \simeq 31,4 \mbox{ cm}

    e concludiamo calcolando la misura dell'altezza

    \\ h=\frac{S_{tot}-2 S_b}{2p} = \frac{408,2 \mbox{ cm}^2 - \left[2 \times (78,5 \mbox{ cm}^2)\right]}{31,4 \mbox{ cm}}= \\ \\ \\ = \frac{408,2 \mbox{ cm}^2 - 157 \mbox{ cm}^2}{31,4 \mbox{ cm}} = \frac{251,2 \mbox{ cm}^2}{31,4 \mbox{ cm}}=8 \mbox{ cm}

    Lasciamo a voi il compito di verificare che saremmo giunti allo stesso risultato usando la formula diretta

    h=\frac{S_{tot}-2\pi r^2}{2\pi r}

    Calcolo altezza cilindro equilatero

    In un cilindro equilatero la misura dell'altezza è uguale al doppio della misura del raggio

    h=2r

    o, equivalentemente, l'altezza è congruente al diametro

    h=d

    Per calcolarne la misura si deve quindi risalire alla lunghezza del raggio di base e moltiplicarne il valore per 2.

    Esempio

    Calcolare la misura dell'altezza di un cilindro equilatero il cui volume è di 401,92 cm3.

    Svolgimento: dalla formula del volume del cilindro

    V=\pi r^2 \times h

    si ricava la formula del volume del cilindro equilatero sostituendo h con 2r

    V=\pi r^2 \times h = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3

    Possiamo calcolare la misura del raggio estraendo la radice cubica del rapporto tra il volume e 2 \pi

    r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} \simeq \sqrt[3]{\frac{401,92 \mbox{ cm}^3}{2 \times 3,14}} \simeq \sqrt[3]{\frac{401,92 \mbox{ cm}^3}{6,28}} \simeq \sqrt[3]{64 \mbox{ cm}^3} \simeq 4 \mbox{ cm}

    e, infine, determinare la misura dell'altezza

    h=2r = 2 \times (4 \mbox{ cm}) = 8 \mbox{ cm}

    ***

    È tutto! Nella nostra scheda di esercizi svolti sul cilindro trovate altri problemi con cui continuare ad allenarvi. ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Geometria