Soluzioni
  • Il prisma quadrangolare regolare è un particolare tipo di prisma quadrangolare, definito come un prisma retto le cui basi sono quadrati. In modo del tutto equivalente un prisma regolare quadrangolare si può definire come:

    - un parallelepipedo retto avente come basi due quadrati;

    - un parallelepipedo rettangolo avente come basi due quadrati;

    - un poliedro che ha come facce laterali quattro rettangoli e come basi due quadrati.

     

    Prisma quadrangolare regolare

    Un prisma regolare quadrangolare.

     

    Proprietà del prisma quadrangolare regolare

    1) Ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici (per approfondire: facce, spigoli e vertici).

    2) Le facce laterali sono rettangoli congruenti e quelle opposte giacciono su piani paralleli.

    3) Tutti gli angoli diedri interni hanno un'ampiezza di 90°.

    4) Ha quattro diagonali congruenti tra loro.

    5) Se l'altezza di un prisma regolare quadrangolare è uguale alla misura dello spigolo di base, allora si ottiene un cubo, che è un particolare tipo di prisma quadrangolare regolare e l'unico solido platonico che rientra nella famiglia dei prismi.

    Formule del prisma quadrangolare regolare

    Prima di passare all'elenco delle formule del prisma regolare quadrangolare è bene specificare la corrispondenza tra i nomi e i simboli che abbiamo usato.

    V è il volume, S_{tot} l'area della superficie totale, S_{lat} l'area della superficie laterale, S_b l'area di base e 2p il perimetro di base. Inoltre, L indica lo spigolo di base (lato del quadrato), h l'altezza del prisma, d la diagonale del quadrato di base e D la diagonale del prisma.

     

    Volume del prisma quadrangolare regolare

    V=L^2 \times h

    Altezza (dal volume)

    h=\frac{V}{L^2}

    Spigolo di base (dal volume)

    L=\sqrt{\frac{V}{h}}

    Superficie di base (area del quadrato)

    S_b=L^2

    Perimetro di base (perimetro del quadrato)

    2p=4L

    Superficie laterale del prisma quadrangolare regolare

    S_{lat}=2p \times h \\ \\ S_{lat}= 4L \times h

    Altezza (dall'area della superficie laterale)

    h=\frac{S_{lat}}{4L}

    Perimetro (dall'area della superficie laterale)

    2p=\frac{S_{lat}}{h}

    Spigolo di base (dall'area della superficie laterale)

    L=\frac{S_{lat}}{4h}

    Superficie totale del prisma quadrangolare regolare

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b \\ \\ S_{tot}= 4L \times h + 2L^2

    Altezza (dall'area della superficie totale)

    h=\frac{S_{tot}-2L^2}{4L}

    Diagonale del prisma quadrangolare regolare (teorema di Pitagora)

    \\ D=\sqrt{d^2+h^2} \\ \\ D=\sqrt{2L^2+h^2}

    Altezza (dalla diagonale)

    h=\sqrt{D^2-2L^2}

    Nota: tenere a mente le formule del quadrato.

     

     

    Le formule del prisma quadrangolare regolare sono una particolarizzazione delle formule sul prisma retto, dunque possono essere facilmente ricavate da quest'ultime e non è necessario impararle a memoria.

    Esercizi svolti sul prisma regolare quadrangolare

    Vi proponiamo qualche esercizio svolto sul prisma quadrangolare regolare, in cui abbiamo spiegato come si calcola il volume, l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale e le misure di altezza e diagonale al variare delle informazioni fornite dalla traccia del problema.

    1) Il perimetro di base di un prisma quadrangolare regolare è di 7,2 cm e l'altezza del prisma è di 2,4 cm. Calcolare l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale e il volume del prisma.

    Svolgimento: calcoliamo l'area della superficie laterale come prodotto tra perimetro di base e altezza del prisma

    S_{lat}=2p \times h = (7,2 \mbox{ cm}) \times (2,4 \mbox{ cm}) = 17,28 \mbox{ cm}^2

    Dopodiché troviamo la misura dello spigolo di base dividendo il perimetro per 4

    L=\frac{2p}{4}=\frac{7,2 \mbox{ cm}}{4}=1,8 \mbox{ cm}

    Possiamo ora determinare il volume e l'area della superficie totale

    \\ V=L^2 \times h = (1,8 \mbox{ cm})^2 \times (2,4 \mbox{ cm}) = \\ \\ = (3,24 \mbox{ cm}^2) \times (2,4 \mbox{ cm}) = 7,776 \mbox{ cm}^3 \\ \\ S_{tot}=S_{lat} + 2 S_b = S_{lat} + 2 \times L^2 = \\ \\ = 17,28 \mbox{ cm}^2 + 2 \times (1,8 \mbox{ cm})^2 = \\ \\ = 17,28 \mbox{ cm}^2 + [2 \times (3,24 \mbox{ cm}^2)] = \\ \\ = 17,28 \mbox{ cm}^2 + 6,48 \mbox{ cm}^2 = 23,76 \mbox{ cm}^2

    2) In un prisma regolare quadrangolare l'area di base è di 25 metri quadrati e la sua superficie laterale misura 140 metri quadrati. Quanto è alto il prisma?

    Svolgimento: per calcolare la misura dell'altezza del prisma possiamo dividere l'area della superficie laterale per il perimetro di base

    h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{S_{lat}}{4L}

    Calcoliamo la misura dello spigolo di base estraendo la radice quadrata dell'area di base

    L=\sqrt{S_b}=\sqrt{25 \mbox{ m}^2}=5 \mbox{ m}

    per poi determinare l'altezza del prisma dall'area della superficie laterale

    h=\frac{S_{lat}}{4L}=\frac{140 \mbox{ m}^2}{4 \times (5 \mbox{ m})} = \frac{140 \mbox{ m}^2}{20 \mbox{ m}} = 7 \mbox{ m}

    3) Il volume di un prisma regolare quadrangolare è di 24 metri cubi e la sua altezza misura 3 metri. Calcolare la misura della diagonale del prisma.

    Svolgimento: dividendo il volume per l'altezza otteniamo l'area di base

    S_b=\frac{V}{h}=\frac{24 \mbox{ m}^3}{3 \mbox{ m}} = 8 \mbox{ m}^2

    Estraendone la radice quadrata si ricava la misura dello spigolo di base

    L=\sqrt{S_b}=\sqrt{8 \mbox{ m}^2}=2\sqrt{2} \mbox{ m}

    Possiamo ora calcolare la lunghezza della diagonale del prisma

    \\ D=\sqrt{2L^2+h^2} = \sqrt{2 \times \left(2\sqrt{2} \mbox{ m}\right)^2 + (3 \mbox{ m})^2} = \\ \\ = \sqrt{2 \times (8 \mbox{ m}^2) + 9 \mbox{ m}^2} = \\ \\ = \sqrt{16 \mbox{ m}^2 + 9 \mbox{ m}^2} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2}= 5 \mbox{ m}

    ***

    Per trovare altri problemi svolti sul prisma regolare quadrangolare potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Geometria