Prisma quadrangolare

Il prisma quadrangolare è un prisma le cui basi sono quadrilateri. In modo equivalente, un prisma quadrangolare è un poliedro avente come basi due quadrilateri uguali e paralleli, e avente come facce laterali dei parallelogrammi.

Come caso particolare, un prisma quadrangolare avente come basi due parallelogrammi è un parallelepipedo.

In generale un prisma quadrangolare può essere un poliedro concavo o convesso, a seconda che i poligoni di base siano poligoni concavi o convessi.

Un'ulteriore classificazione prevede di distinguere i prismi quadrangolari in obliqui e retti; tra quest'ultimi rientra il caso particolare del prisma quadrangolare regolare.

Analizziamo ciascun tipo di prisma dandone la definizione e mostrando una rappresentazione grafica, per poi elencare le formule e risolvere qualche problema.

Prisma quadrangolare obliquo

Un prisma quadrangolare si dice obliquo se la sua altezza non coincide con alcuno spigolo laterale; inoltre un prisma quadrangolare obliquo è concavo se le basi sono quadrilateri concavi, convesso se le basi sono quadrilateri convessi.

Un prisma obliquo convesso a base quadrangolare	Un prisma obliquo concavo a base quadrangolare

Prisma quadrangolare retto

Nel prisma quadrangolare retto ciascuna faccia laterale è perpendicolare ad entrambe le basi, dunque l'altezza del prisma coincide con ciascuno spigolo laterale. In modo equivalente, un prisma quadrangolare retto ha come facce laterali dei rettangoli.

Tra i prismi quadrangolari retti distinguiamo i prismi concavi e i prismi convessi, a seconda che il quadrilatero di base sia un concavo o convesso.

Un prisma retto convesso a base quadrangolare	Un prisma retto concavo a base quadrangolare

Un caso particolare di prisma quadrangolare retto è il prisma quadrangolare regolare, definito come un prisma retto le cui basi sono quadrati.

Un prisma quadrangolare regolare è quindi un parallelepipedo rettangolo, perché in un parallelepipedo rettangolo le basi sono rettangoli (e il quadrato è un caso particolare di rettangolo), mentre il viceversa in generale non è vero.

Il cubo è un caso particolare di prisma quadrangolare regolare e, ovviamente, di parallelepipedo rettangolo.

Un prisma quadrangolare regolare.

Formule del prisma quadrangolare

Ora che abbiamo un'idea precisa di com'è fatto un prisma quadrangolare, passiamo all'elenco delle formule, ma prima specifichiamo la corrispondenza tra i nomi e i simboli che abbiamo usato.

è il volume, l'area di base, l'area della superficie laterale, l'area della superficie totale, l'altezza del prisma e la misura dello spigolo di base del prisma quadrangolare regolare.

Per tutte le formule e le proprietà di prisma retto e prisma regolare con base qualsiasi potete consultare il formulario del link. Vi consigliamo inoltre di tenere sotto mano le formule sul quadrato, che saranno utili a risolvere i problemi sul prisma regolare quadrangolare.

Esercizi svolti sul prisma quadrangolare

Risolviamo qualche problema sul prisma quadrangolare per familiarizzare con le formule.

1) Un prisma quadrangolare retto è alto 25 cm e ha per base un trapezio isoscele. Calcolare il volume, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale del prisma sapendo che le basi del trapezio misurano 12 cm e 6 cm e che il lato obliquo è di 5 cm.

Svolgimento: indichiamo con la base minore, con la base maggiore, con l'altezza e con il lato obliquo del trapezio isoscele alla base del prisma quadrangolare.

Sappiamo che

Calcoliamo il perimetro del trapezio sommando le misure delle basi al doppio della misura del lato obliquo

Moltiplicando il perimetro di base per l'altezza del prisma

otteniamo l'area della superficie laterale

Per calcolare il volume e l'area della superficie totale ci serve l'area di base, cioè l'area del trapezio, che si calcola dividendo per 2 il prodotto tra altezza e somma delle basi.

Ci manca la misura dell'altezza del trapezio, che possiamo determinare con il teorema di Pitagora

Fatto ciò possiamo calcolare:

- l'area di base

- l'area della superficie totale, data dalla somma tra area della superficie e il doppio dell'area di base

- il volume, come prodotto tra area di base e altezza del prisma

2) La base di un prisma quadrangolare retto è un rombo le cui diagonali misurano 0,8 metri e 0,6 metri. Calcolare la misura dell'altezza del prisma e l'area della superficie totale sapendo che il volume del prisma è di 1,2 metri cubi.

Svolgimento: siano la diagonale minore, la diagonale maggiore e il lato del rombo alla base del prisma.

Per trovare la misura dell'altezza dobbiamo dividere il volume per l'area di base, che possiamo calcolare usando la formula dell'area del rombo

Di conseguenza

Con il teorema di Pitagora calcoliamo la misura del lato del rombo

per poi trovare il perimetro di base

e, infine, determinare l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale del prisma

3) L'area della superficie totale di un prisma quadrangolare regolare è di 72,5 metri quadrati e lo spigolo di base misura 2,5 metri. Determinare la misura dell'altezza e il volume del prisma.

Svolgimento: sappiamo che

Dalla formula dell'area della superficie totale di un prisma regolare quadrangolare

possiamo ricavare la misura dell'altezza

per poi calcolare il volume del prisma

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È tutto! Per altri esercizi svolti sul prisma retto vi rimandiamo alla pagina del link, se invece vi servono altri esercizi sul prisma quadrangolare regolare - click!