Area del trapezio: formule ed esercizi svolti

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

L'area del trapezio si calcola come A=(b+B)×h/2, ossia moltiplicando l'altezza e la somma delle basi e dividendo per 2. L'area del trapezio è la misura della superficie compresa tra i lati del trapezio.

Area trapezio
Area trapezio = (b+B)×h/2.

Indice

  1. Formula per l'area del trapezio
  2. Esercizi svolti sull'area del trapezio
  3. Approfondimenti

Formula per l'area del trapezio

Indipendentemente dal tipo di trapezio considerato (isoscele, scaleno o rettangolo) la formula per il calcolo dell'area è sempre la stessa: si sommano le misure delle basi, si moltiplica per la misura dell'altezza e si divide il risultato per 2.

A = ((b+B)×h)/(2)

Nella formula A indica l'area, b la base minore, B la base maggiore e h l'altezza.

D'altra parte ogni tipo di trapezio gode di specifiche proprietà, dunque si possono ricavare le misure di basi e altezza in modi diversi a seconda del trapezio considerato.

Per un ripasso di tutte le formule e le proprietà del trapezio rettangolo, del trapezio isoscele e del trapezio scaleno ti rimandiamo alle pagine dei link.

Esercizi svolti sull'area del trapezio

Passiamo agli esercizi e svolgiamo alcuni problemi sul calcolo dell'area del trapezio. Nei seguenti esempi proponiamo tutti i calcoli e le spiegazioni dettagliate delle soluzioni.

1) La somma delle basi di un trapezio è di 15 cm e loro differenza è di 3 cm. Calcolare l'area sapendo che l'altezza è la metà della base minore.

Svolgimento: riportiamo i dati a nostra disposizione

b+B = 15 cm ; B−b = 3 cm ; h = (1)/(2)b

Calcoliamo la misura delle basi procedendo come nei problemi sui segmenti con somma e differenza.

Disegniamo due segmenti che rappresentano la base maggiore B e la base minore b, e calcoliamone graficamente la differenza.

Area trapezio con somma e differenza delle basi

Dalla rappresentazione grafica si deduce che

b = ((b+B)−3 cm)/(2) = (15 cm−3 cm)/(2) = 6 cm ; B = b+3 cm = 6 cm+3 cm = 9 cm

A questo punto possiamo calcolare la misura dell'altezza

h = (1)/(2)b = (1)/(2)×(6 cm) = 3 cm

e infine determinare l'area del trapezio con la relativa formula:

A = ((b+B)×h)/(2) = ((15 cm)×(3 cm))/(2) = (45 cm^2)/(2) = 22,5 cm^2

In alternativa, per trovare la misura delle basi avremmo potuto ricorrere alle equazioni. Sapendo che

b+B = 15 cm ; B−b = 3 cm

dalla seconda relazione si può ricavare la base maggiore in funzione della base minore

B = b+3 cm

per poi sostituire nella prima relazione

b+b+3 cm (B) = 15 cm

Così facendo otteniamo un'equazione di primo grado nell'incognita b

b+b+3 cm = 15 cm

Risolvendola troviamo la lunghezza della base minore

b+b = 15 cm−3 cm ; 2b = 12 cm ; b = (12 cm)/(2) = 6 cm

e, di conseguenza

B = b+3 cm = 6 cm+3 cm = 9 cm

Da qui possiamo ricavare l'area con l'apposita formula.

2) Il perimetro di un trapezio isoscele è di 30 metri e le due basi misurano 13 metri e 7 metri. Calcolare l'area del trapezio.

Svolgimento: sappiamo che

2p = 30 m ; B = 13 m ; b = 7 m

In un trapezio isoscele i lati obliqui sono congruenti, dunque

2p = b+B+2L

Troviamo la misura del lato obliquo invertendo la precedente formula in favore di L

L = (2p−b−B)/(2) = (30 m−7 m−13 m)/(2) = (10 m)/(2) = 5 m

L'altezza di un trapezio isoscele è il cateto di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo e come altro cateto la semidifferenza delle basi

(B−b)/(2) = (13 m−7 m)/(2) = (6 m)/(2) = 3 m

Possiamo allora calcolare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

 h = √(L^2−((B−b)/(2))^2) = √((5 m)^2−(3 m)^2) = √(25 m^2−9 m^2) = √(16 m^2) = 4 m

Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'area del trapezio:

A = ((b+B)×h)/(2) = ((7 m+13 m)×(4 m))/(2) = ((20 m)×(4 m))/(2) = (80 m^2)/(2) = 40 m^2

3) La diagonale maggiore di un trapezio rettangolo misura 25 dm e la sua altezza è di 7 dm. Calcolare l'area sapendo che la base maggiore è il doppio della minore.

Svolgimento: conoscendo la misura D della diagonale maggiore

D = 25 dm

e la misura dell'altezza

h = 7 dm

possiamo calcolare la misura della base maggiore con il teorema di Pitagora:

 B = √(D^2−h^2) = √((25 dm)^2−(7 dm)^2) = √(625 dm^2−49 dm^2) = √(576 dm^2) = 24 dm

In un trapezio rettangolo infatti la diagonale maggiore è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono la base maggiore e l'altezza.

Sapendo che la base maggiore è il doppio della minore

B = 2b

possiamo determinare la misura della base minore

b = (B)/(2) = (24 dm)/(2) = 12 dm

e, infine, calcolare l'area del trapezio con l'ormai nota formula

A = ((b+B)×h)/(2) = ((12 dm+24 dm)×(7 dm))/(2) = ((36 dm)×(7 dm))/(2) = (252 dm^2)/(2) = 126 dm^2

Approfondimenti

Per altri esercizi sul trapezio ti rimandiamo alla pagina del link; se invece ti occorrono esercizi mirati sul calcolo dell'area al variare del tipo di trapezio, le seguenti pagine fanno al caso vostro:

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