Area trapezio

Cos'è e come si calcola l'area di un trapezio? Potreste indicarmi la formula dell'area del trapezio e dirmi se dipende dal tipo di trapezio considerato (isoscele, rettangolo, scaleno), oppure se è sempre la stessa?

Oltre a chiarire questi dubbi, sapreste spiegarmi come si risolvono i problemi sul calcolo dell'area di un trapezio mostrandomi qualche esempio?

Domanda di FAQ

Soluzioni

L'area del trapezio è la misura della superficie compresa tra i lati del trapezio e si calcola dividendo per 2 il prodotto tra la misura dell'altezza e la somma delle misure delle basi. Per determinare l'area bisogna quindi ricavare le misure della base maggiore, della base minore e dell'altezza del trapezio.

Area trapezio = (b+B)·h / 2

Formula per l'area del trapezio
Quale che sia il tipo di trapezio considerato (isoscele, scaleno o rettangolo), la formula per il calcolo dell'area è sempre la stessa:
$A=\frac{(b+B) \times h}{2}$
dove indica l'area, la base minore, la base maggiore e l'altezza.
Tuttavia ogni tipo di trapezio gode di specifiche proprietà, dunque si possono ricavare le misure di basi e altezza in modi diversi a seconda del trapezio considerato.
Per un ripasso di tutte le formule e le proprietà del trapezio rettangolo, del trapezio isoscele e del trapezio scaleno vi rimandiamo alle pagine dei link.
Esercizi svolti sull'area del trapezio
Passiamo agli esercizi e svolgiamo alcuni problemi sul calcolo dell'area del trapezio. Abbiamo riportato tutti i calcoli e fornito spiegazioni dettagliate delle soluzioni.
1) La somma delle basi di un trapezio è di 15 cm e loro differenza è di 3 cm. Calcolare l'area del trapezio sapendo che l'altezza è la metà della base minore.
Riportiamo i dati a nostra disposizione
$\\ b+B=15 \mbox{ cm} \\ \\ B-b=3 \mbox{ cm} \\ \\ h=\frac{1}{2}b$
Svolgimento: calcoliamo la misura delle basi procedendo come nei problemi sui segmenti con somma e differenza.
Rappresentiamo due segmenti che rappresentano la base maggiore e la base minore e ricaviamo graficamente la loro differenza

Dalla rappresentazione grafica si deduce che
$\\ b=\frac{(b+B)- 3 \mbox{ cm}}{2} = \frac{15 \mbox{ cm} - 3 \mbox{ cm}}{2} = 6 \mbox{ cm} \\ \\ \\ B=b+3\mbox{ cm} = 6 \mbox{ cm} + 3 \mbox{ cm} = 9 \mbox{ cm}$
Possiamo ora calcolare la misura dell'altezza
$h=\frac{1}{2}b = \frac{1}{2} \times (6 \mbox{ cm}) = 3 \mbox{ cm}$
per poi determinare l'area del trapezio con la relativa formula
$A=\frac{(b+B) \times h}{2} = \frac{(15 \mbox{ cm}) \times (3 \mbox{ cm})}{2} = \frac{45 \mbox{ cm}^2}{2} = 22,5 \mbox{ cm}^2$
In alternativa, per trovare la misura delle basi avremmo potuto ricorrere alle equazioni. Sapendo che
$\\ b+B=15 \mbox{ cm} \\ \\ B-b=3 \mbox{ cm}$
dalla seconda relazione si può ricavare il valore della base maggiore in funzione della base minore
$B=b+3 \mbox{ cm}$
per poi sostituire nella prima relazione
$b+\underbrace{b+3 \mbox{ cm}}_{B} = 15 \mbox{ cm}$
e ottenere un'equazione di primo grado nell'incognita
$b+b+3\mbox{ cm} = 15 \mbox{ cm}$
Risolvendola si ricava la lunghezza della base minore
$\\ b+b = 15 \mbox{ cm} - 3 \mbox{ cm} \\ \\ 2b=12\mbox{ cm} \\ \\ b=\frac{12 \mbox{ cm}}{2}= 6 \mbox{ cm}$
e, di conseguenza
$B=b+3 \mbox{ cm} = 6 \mbox{ cm} + 3 \mbox{ cm} = 9 \mbox{ cm}$
2) Il perimetro di un trapezio isoscele è di 30 metri, e le due basi misurano 13 metri e 7 metri. Calcolare l'area del trapezio.
Svolgimento: sappiamo che
$\\ 2p=30 \mbox{ m} \\ \\ B=13 \mbox{ m} \\ \\ b=7 \mbox{ m}$
In un trapezio isoscele i lati obliqui sono congruenti, dunque
Troviamo la misura del lato obliquo invertendo la precedente formula in favore di
$L=\frac{2p-b-B}{2}=\frac{30 \mbox{ m} - 7 \mbox{ m} - 13 \mbox{ m}}{2}=\frac{10 \mbox{ m}}{2} = 5 \mbox{ m}$
L'altezza di un trapezio isoscele è il cateto di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo e come altro cateto la semidifferenza delle basi
$\frac{B-b}{2}=\frac{13 \mbox{ m} - 7 \mbox{ m}}{2} = \frac{6 \mbox{ m}}{2} = 3 \mbox{ m}$
Possiamo allora calcolare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora
$\\ h=\sqrt{L^2-\left(\frac{B-b}{2}\right)^2}=\sqrt{(5 \mbox{ m})^2 - (3 \mbox{ m})^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ m}^2 - 9 \mbox{ m}^2} = \sqrt{16 \mbox{ m}^2} = 4 \mbox{ m}$
Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'area del trapezio
$A=\frac{(b+B) \times h}{2} = \frac{(7 \mbox{ m} + 13 \mbox{ m}) \times (4 \mbox{ m})}{2} = \\ \\ \\ =\frac{(20 \mbox{ m}) \times (4 \mbox{ m})}{2} = \frac{80 \mbox{ m}^2}{2} = 40 \mbox{ m}^2$
3) La diagonale maggiore di un trapezio rettangolo misura 25 dm e la sua altezza è di 7 dm. Calcolare la sua area sapendo che la base maggiore è il doppio della minore.
Svolgimento: conoscendo la misura della diagonale maggiore
$D=25 \mbox{ dm}$
e la lunghezza dell'altezza
$h=7 \mbox{ dm}$
possiamo calcolare la misura della base maggiore con il teorema di Pitagora
$\\ B=\sqrt{D^2-h^2}=\sqrt{(25 \mbox{ dm})^2 - (7 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{625 \mbox{ dm}^2 - 49 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{576 \mbox{ dm}^2} = 24 \mbox{ dm}$
In un trapezio rettangolo, infatti, la diagonale maggiore è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono la base maggiore e l'altezza.
Sapendo che la base maggiore è il doppio della minore
possiamo determinare la misura della base minore
$b=\frac{B}{2}=\frac{24 \mbox{ dm}}{2}=12 \mbox{ dm}$
e, infine, calcolare l'area del trapezio con l'ormai nota formula
$A=\frac{(b+B) \times h}{2} = \frac{(12 \mbox{ dm} + 24 \mbox{ dm}) \times (7 \mbox{ dm})}{2} = \\ \\ \\ =\frac{(36 \mbox{ dm}) \times (7 \mbox{ dm})}{2} = \frac{252 \mbox{ dm}^2}{2} = 126 \mbox{ dm}^2$
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Per altri esercizi sul trapezio vi rimandiamo alla pagina del link; se invece vi occorrono esercizi mirati sul calcolo dell'area al variare del tipo di trapezio, le seguenti pagine fanno al caso vostro:
- area del trapezio scaleno;
- area del trapezio isoscele;
- area del trapezio rettangolo.
Risposta di Galois