L'area del trapezio è la misura della superficie compresa tra i lati del trapezio e si calcola dividendo per 2 il prodotto tra la misura dell'altezza e la somma delle misure delle basi. Per determinare l'area bisogna quindi ricavare le misure della base maggiore, della base minore e dell'altezza del trapezio.
Area trapezio = (b+B)·h / 2
Formula per l'area del trapezio
Quale che sia il tipo di trapezio considerato (isoscele, scaleno o rettangolo), la formula per il calcolo dell'area è sempre la stessa:
dove
indica l'area,
la base minore,
la base maggiore e
l'altezza.
Tuttavia ogni tipo di trapezio gode di specifiche proprietà, dunque si possono ricavare le misure di basi e altezza in modi diversi a seconda del trapezio considerato.
Per un ripasso di tutte le formule e le proprietà del trapezio rettangolo, del trapezio isoscele e del trapezio scaleno vi rimandiamo alle pagine dei link.
Esercizi svolti sull'area del trapezio
Passiamo agli esercizi e svolgiamo alcuni problemi sul calcolo dell'area del trapezio. Abbiamo riportato tutti i calcoli e fornito spiegazioni dettagliate delle soluzioni.
1) La somma delle basi di un trapezio è di 15 cm e loro differenza è di 3 cm. Calcolare l'area del trapezio sapendo che l'altezza è la metà della base minore.
Riportiamo i dati a nostra disposizione
Svolgimento: calcoliamo la misura delle basi procedendo come nei problemi sui segmenti con somma e differenza.
Rappresentiamo due segmenti che rappresentano la base maggiore
e la base minore
e ricaviamo graficamente la loro differenza
Dalla rappresentazione grafica si deduce che
Possiamo ora calcolare la misura dell'altezza
per poi determinare l'area del trapezio con la relativa formula
In alternativa, per trovare la misura delle basi avremmo potuto ricorrere alle equazioni. Sapendo che
dalla seconda relazione si può ricavare il valore della base maggiore in funzione della base minore
per poi sostituire nella prima relazione
e ottenere un'equazione di primo grado nell'incognita
Risolvendola si ricava la lunghezza della base minore
e, di conseguenza
2) Il perimetro di un trapezio isoscele è di 30 metri, e le due basi misurano 13 metri e 7 metri. Calcolare l'area del trapezio.
Svolgimento: sappiamo che
In un trapezio isoscele i lati obliqui sono congruenti, dunque
Troviamo la misura del lato obliquo invertendo la precedente formula in favore di
L'altezza di un trapezio isoscele è il cateto di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo e come altro cateto la semidifferenza delle basi
Possiamo allora calcolare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora
Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'area del trapezio
3) La diagonale maggiore di un trapezio rettangolo misura 25 dm e la sua altezza è di 7 dm. Calcolare la sua area sapendo che la base maggiore è il doppio della minore.
Svolgimento: conoscendo la misura
della diagonale maggiore
e la lunghezza dell'altezza
possiamo calcolare la misura della base maggiore con il teorema di Pitagora
In un trapezio rettangolo, infatti, la diagonale maggiore è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono la base maggiore e l'altezza.
Sapendo che la base maggiore è il doppio della minore
possiamo determinare la misura della base minore
e, infine, calcolare l'area del trapezio con l'ormai nota formula
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Per altri esercizi sul trapezio vi rimandiamo alla pagina del link; se invece vi occorrono esercizi mirati sul calcolo dell'area al variare del tipo di trapezio, le seguenti pagine fanno al caso vostro:
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