Scala logaritmica

La scala logaritmica è una scala di rappresentazione che permette di riportare sulla retta dei numeri un insieme di numeri reali positivi che spaziano in un intervallo (range) molto grande di valori.

Ad esempio, se sulla retta dei numeri volessimo rappresentare le frequenze di udibilità del suono, che varia da 20 Hz a 20000 Hz, o le distanze interstellari, che sono dell'ordine di milioni di chilometri, è conveniente ricorrere a una scala logaritmica.

Badate bene, però, che in scala logaritmica si possono rappresentare solo numeri maggiori di zero, infatti per definizione di logaritmo, il logaritmo di zero e il logaritmo di un numero negativo non sono definiti.

Come si costruisce una scala logaritmica

Disegniamo una retta dei numeri e fissiamo un punto e un'unità di misura .

Se sulla retta si vuole rappresentare il numero , la sua posizione coincide con il valore del logaritmo in base 10 di .

Ad esempio, se , per le proprietà dei logaritmi

allora al punto corrisponde il punto .

In generale, se è il punto che deve rappresentare il numero , allora la lunghezza del segmento è uguale al logaritmo in base 10 di .

Questa rappresentazione dei numeri reali positivi si chiama rappresentazione in scala logaritmica.

Rappresentazione in scala logaritmica.
I numeri in nero sono i valori di ,
i numeri in arancione sono i valori di .

Osserviamo che:

1) al punto della scala lineare corrisponde l'origine della scala logaritmica, infatti .

2) Sulla sinistra dell'origine della scala logaritmica si trovano valori negativi, che corrispondono al logaritmo in base 10 di numeri compresi tra 0 e 1, infatti se allora .

Per comodità, la scala logaritmica si definisce con il logaritmo in base 10, ma a seconda dei numeri che si devono rappresentare si può scegliere come base del logaritmo qualsiasi numero , a patto che sia maggiore di zero e diverso da 1.

Esempi

1) Supponiamo di voler rappresentare sulla retta dei numeri gli elementi del seguente insieme

formato dalle prime cinque potenze del numero 100.

Con una rappresentazione di tipo lineare sarebbe impossibile, ma servendoci della scala logaritmica diventa un gioco da ragazzi.

Calcoliamo il logaritmo in base 10 di ciascun elemento dell'insieme, servendoci opportunamente delle proprietà dei logaritmi

Fatto ciò disegniamo una retta, fissiamo un'origine e un'unità di misura e riportiamo gli elementi dell'insieme in corrispondenza dei valori dei logaritmi appena calcolati.

Esempio sulla rappresentazione degli elementi di un insieme 
in scala logaritmica.

2) Per rappresentare sulla retta dei numeri l'insieme formato dalle prime sei potenze di 2

possiamo ricorrere alla scala logaritmica, ma invece del logaritmo in base 10 è più conveniente scegliere il logaritmo in base 2.

Calcoliamo il logaritmo in base 2 degli elementi dell'insieme

Dopo aver disegnato una retta, scelto un'unità di misura e fissata un'origine, riportiamo gli elementi dell'insieme in corrispondenza dei valori dei logaritmi calcolati.

Esempio sulla rappresentazione degli elementi di un insieme
in scala logaritmica con base diversa da 10.

Scala semilogaritmica

Quando nel piano cartesiano si introduce un sistema di riferimento, su uno o su entrambi gli assi si può fissare una scala logaritmica.

Se sull'asse delle ascisse si mantiene una scala lineare e sull'asse delle ordinate si introduce una scala logaritmica, o viceversa si mantiene una scala lineare sull'asse y e si introduce una scala logaritmica sull'asse x, allora si ottiene una rappresentazione in scala semilogaritmica.

Nella seguente immagine potete osservare un sistema di riferimento cartesiano in scala semilogaritmica, in cui sull'asse y è stata fissata una scala logaritmica in base 10.

Rappresentazione in scala semilogaritmica.

La scala semilogaritmica viene usata principalmente in statistica ed è utile per linearizzare il grafico delle funzioni esponenziali, che in scala semilogaritmica hanno un andamento lineare.

Per fissare le idee facciamo un esempio e consideriamo la funzione

Sull'asse x manteniamo una scala lineare e sull'asse y fissiamo una scala logaritmica scegliendo il numero 10 come base del logaritmo.

Il grafico della funzione in scala semilogaritmica è il luogo geometrico dei punti del piano per cui ad ogni ascissa appartenente al dominio della funzione si associa l'ordinata

Al punto di ascissa corrisponde il punto

Al punto di ascissa corrisponde il punto

Al punto di ascissa corrisponde il punto

... e così via.

Risulta così evidente che in scala semilogaritmica il grafico della funzione è una retta.

Grafico della funzione y=10^x in scala semilogaritmica.