Soluzioni
  • Il prisma a base triangolare è un prisma avente due basi costituite da triangoli congruenti. Nella famiglia dei prismi a base triangolare si distinguono i prismi triangolari obliqui e i prismi triangolari retti; di quest'ultimi è un caso particolare il prisma triangolare regolare.

    Vediamo come di definisce ciascun tipo di prisma fornendone una rappresentazione grafica, per poi elencare le formule dei vari tipi di prisma triangolare e risolvere qualche esercizio sui prismi a base triangolare retto e regolare, che sono quelli più ricorrenti nei problemi si scuola media e scuola superiore.

    Prisma triangolare obliquo

    Nel prisma obliquo a base triangolare l'altezza non coincide con alcuno spigolo laterale, quindi le facce laterali sono tre parallelogrammi.

     

    Prisma triangolare obliquo

    Un prisma triangolare obliquo.

     

    Prisma triangolare retto

    Nel prisma retto a base triangolare le facce laterali sono perpendicolari ai piani contenenti le basi, quindi la misura dell'altezza coincide con quella dello spigolo laterale e le facce laterali sono rettangoli.

     

    Prisma triangolare retto

    Un prisma triangolare retto.

     

    Prisma triangolare regolare

    Il prisma regolare a base triangolare è un prisma retto avente come basi dei triangoli equilateri, ragion per cui le facce laterali sono rettangoli congruenti.

     

    Prisma triangolare regolare

    Un prisma triangolare regolare.

     

    Formule del prisma triangolare

    Nell'elencare le formula abbiamo indicato con L la misura di uno dei lati del triangolo di base e con H_L la misura dell'altezza relativa a esso, con h l'altezza del prisma, con S_b l'area della superficie di base, con 2p il perimetro di base, con V il volume, con S_{lat} l'area della superficie laterale e con S_{tot} l'area della superficie totale.

    Quelle evidenziate in grassetto sono le uniche formule che è vi consigliamo di ricordare a memoria. Tutte le altre, o sono formule che dovrebbero essere già note o si possono ricavare dalle formule in grassetto.

     

    Volume del prisma triangolare (qualsiasi)

    V=S_b \times h

    Altezza (dal volume)

    h=\frac{V}{S_b}

    Superficie di base (dal volume)

    S_b=\frac{V}{h}

    Superficie di base del prisma triangolare (area del triangolo)

    S_{b}=\frac{L \times H_L}{2}

    Superficie totale del prisma triangolare (qualsiasi)

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_{lat}=S_{tot}-2S_b

    Superficie di base (dalla totale)

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Formule del prisma retto a base triangolare

     

    Superficie laterale

    S_{lat}=2p \times h

    Altezza (dalla superficie laterale)

    h=\frac{S_{lat}}{2p}

    Perimetro di base (dalla superficie laterale)

    2p=\frac{S_{lat}}{h}

    Formule del prisma regolare a base triangolare

    Tenere a mente le formule del triangolo equilatero.

    Superficie di base (area del triangolo equilatero)

    S_b=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2

    Perimetro di base (perimetro del triangolo equilatero)

    2p=3L

    Spigolo di base (dall'area)

    L=\sqrt{\frac{4S_b}{\sqrt{3}}}

    Spigolo di base (dal perimetro)

    L=\frac{2p}{3}

     

    Nella nostra lezione su prisma retto e prisma regolare trovate ogni genere di approfondimento su questi due tipi di solidi, se invece vi occorre un formulario sul triangolo potete consultare la pagina del link.

    Esercizi svolti sul prisma a base triangolare

    Vediamo una serie di problemi svolti sul calcolo area, volume e altezza del prisma triangolare, sia nel caso retto che nel caso regolare.

    1) Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo, i cui cateti misurano 3 cm e 4 cm. Calcolare volume e area della superficie totale del prisma sapendo che la sua altezza è il triplo dell'ipotenusa del triangolo di base.

    Svolgimento: indichiamo con c_1 e c_2 i due cateti e con i l'ipotenusa del triangolo rettangolo alla base del prisma.

    Sappiamo che

    \\ c_1=3 \mbox{ cm} \\ \\ c_2 = 4 \mbox{ cm} \\ \\ h=3i

    Calcoliamo l'area di base, data dal semiprodotto dei cateti

    S_b=\frac{c_1 \times c_2}{2} = \frac{(3 \mbox{ cm}) \times (4 \mbox{ cm})}{2} = \frac{12 \mbox{ cm}^2}{2} = 6 \mbox{ cm}^2

    Proseguiamo determinando la misura dell'ipotenusa con il teorema di Pitagora

    \\ i=\sqrt{c_1^2+c_2^2} = \sqrt{(3 \mbox{ cm})^2 + (4 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{9 \mbox{ cm}^2 + 16 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    per poi ricavare la misura dell'altezza

    h=3i=3 \times (5 \mbox{ cm}) = 15 \mbox{ cm}

    Possiamo ora calcolare il volume del prisma

    V=S_b \times h = (6 \mbox{ cm}^2) \times (15 \mbox{ cm}) = 90 \mbox{ cm}^3

    e l'area della superficie laterale come prodotto tra il perimetro del triangolo di base e l'altezza del prisma

    \\ 2p = c_1+c_2+i = 3 \mbox{ cm} + 4 \mbox{ cm} + 5 \mbox{ cm} = 12 \mbox{ cm} \\ \\ S_{lat}=2p \times h = (12 \mbox{ cm}) \times (15 \mbox{ cm}) = 180 \mbox{ cm}^2

    Infine, determiniamo l'area della superficie totale come somma tra l'area della superficie laterale e il doppio dell'area di base

    S_{tot} = S_{lat}+2 S_b =180 \mbox{ cm}^2 + 2 \times (6 \mbox{ cm}^2) = 180 \mbox{ cm}^2 + 12 \mbox{ cm}^2 = 192 \mbox{ cm}^2

    2) Il volume di un prisma regolare triangolare è di 162√3 metri cubi e la sua altezza misura 18 metri. Calcolare l'area del triangolo di base, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale del prisma.

    Svolgimento: l'area di base si calcola dividendo il volume per la misura dell'altezza

    S_b=\frac{V}{h}=\frac{162\sqrt{3} \mbox{ m}^3}{18 \mbox{ m}} = 9\sqrt{3} \mbox{ m}^2

    La base di un prisma regolare triangolare è un triangolo equilatero, dalla cui area possiamo determinare la misura del lato

    L=\sqrt{\frac{S_b \times 4}{\sqrt{3}}}=\frac{(9\sqrt{3} \mbox{ m}^2) \times 4}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{36\sqrt{3} \mbox{ m}^2}{\sqrt{3}}} = \sqrt{36 \mbox{ m}^2} = 6 \mbox{ m}

    per poi calcolare l'area della superficie laterale

    S_{lat} = 3L \times h = 3 \times (6 \mbox{ m}) \times (18 \mbox{ m}) = 324 \mbox{ m}^2

    e l'area della superficie totale

    S_{tot} = S_{lat}+2 S_b =324 \mbox{ m}^2 + 2 \times (9\sqrt{3} \mbox{ m}^2) = 324 \mbox{ m}^2 + 18\sqrt{3} \mbox{ m}^2

    3) Base e altezza del triangolo isoscele alla base di un prisma retto misurano, rispettivamente, 2,2 dm e 6 dm. Calcolare la misura dell'altezza del prisma, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale sapendo che il volume è di 79,2 dm3.

    Svolgimento: chiamiamo b la base e H l'altezza del triangolo isoscele alla base del prisma. Sapendo che

    \\ b= 2,2 \mbox{ dm} \\ \\ H = 6 \mbox{ dm}

    possiamo trovare:

    - l'area di base

    S_b=\frac{b \times H}{2} = \frac{(2,2 \mbox{ dm}) \times (6 \mbox{ dm})}{2} = \frac{13,2 \mbox{ dm}^2}{2} = 6,6 \mbox{ dm}^2

    - la lunghezza L del lato obliquo del triangolo isoscele con il teorema di Pitagora

    \\ L=\sqrt{H^2+\frac{b^2}{4}} = \sqrt{(6 \mbox{ dm})^2 + \frac{(2,2 \mbox{ dm})^2}{4}} = \sqrt{36 \mbox{ dm}^2 + \frac{4,84 \mbox{ dm}^2}{4}} =  \\ \\ \\ = \sqrt{36 \mbox{ dm}^2 + 1,21 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{37,21 \mbox{ dm}^2} = 6,1 \mbox{ dm}

    - la misura del perimetro di base

    2p=b+2L = 2,2 \mbox{ dm} + 2 \times (6,1 \mbox{ dm}) = 2,2 \mbox{ dm} + 12,2 \mbox{ dm} = 14,4 \mbox{ dm}

    A questo punto abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare l'altezza del prisma, l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale.

    L'altezza è data dal rapporto tra il volume e l'area di base

    h=\frac{V}{S_b}=\frac{79,2 \mbox{ dm}^3}{6,6 \mbox{ dm}^2} = 12 \mbox{ dm}

    L'area della superficie laterale si ottiene dal prodotto tra il perimetro di base e l'altezza del prisma

    S_{lat} = 2p \times h = (14,4 \mbox{ dm}) \times (12 \mbox{ dm}) = 172,8 \mbox{ dm}^2

    L'area della superficie totale è la somma tra l'area della superficie totale e il doppio dell'area di base

    S_{tot} = S_{lat}+2 S_b = 172,8 \mbox{ dm}^2 + 2 \times (6,6 \mbox{ dm}^2) = \\ \\ = 172,8 \mbox{ dm}^2 + 13,2 \mbox{ dm}^2 = 186 \mbox{ dm}^2

    ***

    Concludiamo consigliandovi di dare un'occhiata alla nostra scheda di esercizi sul prisma, dove troverete altri problemi svolti con cui continuare ad allenarvi. ;)

    Risposta di Galois
 
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