Soluzioni
  • Il perimetro del triangolo è la misura della lunghezza del contorno del triangolo e si calcola sommando le misure dei tre lati. Per trovare il perimetro di un triangolo si deve quindi risalire alle misure dei suoi lati per poi calcolare una semplice addizione.

     

    Perimetro triangolo

    Perimetro triangolo = AB+BC+AC.

     

    Formula per il perimetro di un triangolo

    Indichiamo con A, \ B, \ C i tre vertici di un triangolo; la formula per il perimetro del triangolo è la seguente

    2p=AB+BC+AC

    dove 2p è il simbolo che si usa per indicare il perimetro e AB, \ BC \mbox{ e } AC sono le misure dei lati. A proposito del simbolo 2p, è buona convenzione includere il coefficiente 2 così che il simbolo p indichi il semiperimetro del triangolo.

    Per tutte le altre formule, le proprietà e le classificazioni del triangolo potete consultare il formulario del link.

    Esercizi svolti sul perimetro del triangolo

    Passiamo agli esercizi e vediamo come si risolvono i problemi sul perimetro al variare del tipo di triangolo considerato. Alcuni triangoli godono infatti di particolari proprietà che consentono di determinare le misure dei lati con formule specifiche, per poi calcolare il perimetro.

    Calcolo perimetro di un triangolo equilatero

    In un triangolo equilatero i tre lati sono congruenti, quindi per calcolarne il perimetro basta moltiplicare la misura di uno dei lati per 3.

    2p=3L

    Nella seguente tabella abbiamo riportato le formule dirette con cui è possibile determinare la misura del lato del triangolo equilatero. Abbiamo indicato con L il lato, con S l'area, con H l'altezza, con r l'apotema (raggio della circonferenza inscritta) e con R il raggio della circonferenza circoscritta.

     

    Lato triangolo equilatero dall'area

    L=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}

    Lato triangolo equilatero dall'altezza

    L=\frac{2H}{\sqrt{3}}

    Lato triangolo equilatero dall'apotema

    L=2\sqrt{3} r

    Lato triangolo equilatero dal raggio della circonferenza circoscritta

    L=\sqrt{3}R

     

    Esempio

    L'altezza di un triangolo equilatero misura 8√3 cm. Calcolarne il perimetro.

    Svolgimento: per trovare il perimetro ci serve la misura del lato, che possiamo ricavare dividendo il doppio dell'altezza per la radice quadrata di 3

    L=\frac{2H}{\sqrt{3}}=\frac{2 \times (8\sqrt{3} \mbox{ cm})}{\sqrt{3}} = \frac{16 \sqrt{3} \mbox{ cm}}{\sqrt{3}} = 16 \mbox{ cm}

    Moltiplicando la misura del lato per 3 otteniamo il perimetro

    2p=3L = 3 \times (16 \mbox{ cm}) = 48 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro di un triangolo isoscele

    Nel triangolo isoscele i due lati obliqui hanno la stessa misura, ragion per cui il perimetro si può calcolare sommando la misura b della base al doppio della misura L del lato obliquo

    2p=b+2L

    Per determinare le misure di base e lato obliquo possiamo servirci di una relazione che discende dal teorema di Pitagora e che lega base, lato obliquo e altezza del triangolo isoscele

    L^2 = H^2 + \frac{b^2}{4}\ \to\ \begin{matrix}L=\sqrt{H^2+\frac{b^2}{4}}\\ \\ b=2\sqrt{L^2-H^2}\end{matrix}

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che la base misura 6 cm e che l'altezza è di 4 cm.

    Svolgimento: individuiamo la misura del lato obliquo con il teorema di Pitagora

    \\ L = \sqrt{H^2 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{(4 \mbox{ cm})^2 + \frac{(6 \mbox{ cm})^2}{4}} =  \\ \\ \\ = \sqrt{16 \mbox{ cm}^2 + \frac{36 \mbox{ cm}^2}{4}} = \sqrt{16 \mbox{ cm}^2 + 9 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    per poi calcolare il perimetro con la relativa formula

    2p=b+2L = 6 \mbox{ cm} + 2 \times (5 \mbox{ cm}) = 6 \mbox{ cm} + 10 \mbox{ cm} = 16 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro di un triangolo rettangolo

    Per calcolare le misure dei lati di un triangolo rettangolo e quindi determinare la misura del perimetro si possono usare il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide.

    Indicando con c_1 e c_2 i due cateti, con i l'ipotenusa, con p_1 e p_2 le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa e con h l'altezza del triangolo rettangolo, valgono le seguenti relazioni

     

    Teorema di Pitagora

    i^2=c_1^2+c_2^2

    Primo Teorema di Euclide

    \\ i:c_1=c_1:p_1 \\ \\ i:c_2=c_2:p_2

    Secondo Teorema di Euclide

    p_1:h=h:p_2

     

    Per usare correttamente le formule dei teoremi di Euclide è fondamentale saper lavorare con le proporzioni e conoscerne le varie proprietà.

    Dopo aver calcolato le misure dei lati, dalla loro somma si ottiene il perimetro del triangolo

    2p=c_1+c_2+i

    Esempio

    Ipotenusa e cateto minore di un triangolo rettangolo misurano 3,7 dm e 1,2 dm. Quanto misura il perimetro?

    Svolgimento: calcoliamo la misura del cateto maggiore con il teorema di Pitagora

    \\ c_2=\sqrt{i^2-c_1^2} = \sqrt{(3,7 \mbox{ dm})^2 - (1,2 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{13,69 \mbox{ dm}^2 - 1,44 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{12,25 \mbox{ dm}^2} = 3,5 \mbox{ dm}

    Determiniamo la misura del perimetro come somma delle misure di cateto minore, cateto maggiore e ipotenusa

    2p=c_1+c_2+i = 1,2 \mbox{ dm} + 3,5 \mbox{ dm} + 3,7 \mbox{ dm} = 8,4 \mbox{ dm}

    Calcolo perimetro di un triangolo scaleno

    In un triangolo scaleno i tre lati hanno misure diverse tra loro e non vi sono particolari proprietà, quindi non ci sono formule o relazioni particolari tra i lati da dover ricordare.

    Molto semplicemente, con i dati forniti dal testo del problema si devono individuare le misure dei lati AB, \ AC \mbox{ e } BC, per poi sommarle

    2p=AB+BC+AC

    Tuttavia, se uno degli angoli interni del triangolo scaleno è un angolo retto, allora si possono usare le relazioni tra i lati valide per il triangolo rettangolo.

    Esempio

    In un triangolo scaleno il lato AB misura 1,5 m, il lato BC è il doppio di AB e il lato AC è il quintuplo di AB diminuito della misura di BC. Calcolare il perimetro del triangolo.

    Svolgimento: determiniamo le misure dei tre lati

    \\ AB=1,5 \mbox{ m} \\ \\ BC=2AB = 2 \times (1,5 \mbox{ m}) = 3 \mbox{ m} \\ \\ AC=5AB-BC = 5 \times (1,5 \mbox{ m}) - 3 \mbox{ m} = 7,5 \mbox{ m} - 3 \mbox{ m} = 4,5 \mbox{ m}

    Dalla loro somma si ricava la misura del perimetro

    2p=AB+BC+AC = 1,5 \mbox{ m} + 3 \mbox{ m} + 4,5 \mbox{ m} = 9 \mbox{ m}

    ***

    Come ulteriore spunto di approfondimento vi consigliamo la lettura delle seguenti pagine, dove troverete esercizi mirati sul calcolo del perimetro di ciascun tipo di triangolo:

    - perimetro triangolo equilatero;

    - perimetro triangolo rettangolo;

    - perimetro triangolo isoscele;

    - perimetro triangolo scaleno.

    Risposta di Galois
 
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