Altezza triangolo

L'altezza di un triangolo si calcola dividendo il doppio dell'area per il lato relativo all'altezza, ossia come h=2S/L; un'altezza in un triangolo è ciascuno dei segmenti che ha origine in un vertice e che cade perpendicolarmente sul lato opposto.

Altezze di un triangolo

Ogni triangolo ha tre altezze, tanti quanti sono i suoi vertici, e si incontrano in un stesso punto detto ortocentro.

Altezze di un triangolo qualsiasi: h_A, h_B, h_C.

Le altezze di un triangolo godono di proprietà specifiche a seconda del tipo di triangolo considerato; in particolare:

- il triangolo equilatero ha tre altezze congruenti tra loro; ciascuna altezza è anche bisettrice, mediana e asse e divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti;

- nel triangolo isoscele l'altezza relativa alla base è anche bisettrice, mediana e asse, e divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti; le altezze relative ai lati obliqui non godono di particolari proprietà, ma sono congruenti tra loro;

- nel triangolo rettangolo due altezze coincidono con i cateti, che sono l'uno l'altezza relativa all'altro.

Formule per l'altezza di un triangolo

In un triangolo qualsiasi la misura dell'altezza si calcola dividendo il doppio dell'area del triangolo per la misura del lato su cui cade l'altezza.

Questa formula vale per qualsiasi tipo di triangolo ma per il triangolo equilatero, il triangolo isoscele e il triangolo rettangolo esistono altre formule dirette, che derivano dalle proprietà di cui gode ciascun tipo di triangolo.

Prima di elencarle è bene specificare la corrispondenza tra i nomi e i simboli che useremo.

Nel triangolo qualsiasi abbiamo indicato le tre altezze con il simbolo seguito da un pedice che indica il vertice da cui ha origine ciascuna altezza; dunque è l'altezza relativa al lato , è l'altezza relativa al lato e è l'altezza relativa al lato .

Nel triangolo equilatero è il lato, il perimetro, l'altezza, il raggio della circonferenza circoscritta e l'apotema, cioè il raggio della circonferenza inscritta.

Nel triangolo rettangolo e sono i due cateti, è l'ipotenusa, è l'altezza relativa all'ipotenusa, e sono le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Nel triangolo isoscele è la base, il lato obliquo, l'altezza relativa alla base, l'altezza relativa al lato obliquo.

Infine, qualsiasi sia il tipo di triangolo, ne indica l'area e il perimetro.

Per un elenco completo di tutte le formule e le proprietà del triangolo potete consultare il formulario del link.

Esercizi svolti sull'altezza del triangolo

Vi proponiamo ora un paio di esercizi svolti sul calcolo dell'altezza di un triangolo qualsiasi, dove abbiamo mostrato tutti i calcoli, i passaggi e le spiegazioni utili a risolvere ciascun problema.

1) I tre lati di un triangolo misurano 6 cm, 5 cm e 2,2 cm. Calcolare le misure delle tre altezze del triangolo.

Svolgimento: chiamiamo i lati del triangolo e supponiamo che

Per calcolare le misure delle altezze dobbiamo dividere il doppio dell'area per la misura di ciascun lato.

Disponendo delle misure dei lati possiamo determinare l'area del triangolo con la formula di Erone

dove è il semiperimetro e si calcola dividendo per 2 il perimetro del triangolo

Quindi

Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare le misure delle altezze

2) Uno dei lati di un triangolo scaleno è di 8 metri e l'altezza relativa ad esso è di 5 m. Calcolare la misura dell'altezza relativa alla base sapendo che quest'ultima misura 4 m.

Svolgimento: consideriamo come base del triangolo e indichiamo con l'altezza relativa alla base, con il lato noto e con l'altezza relativa ad esso.

Dobbiamo determinare la misura dell'altezza sapendo che

Calcoliamo l'area del triangolo scaleno dividendo per due il prodotto tra la misura del lato e la misura dell'altezza relativa ad esso

Possiamo ora trovare la misura dell'altezza dividendo il doppio dell'area per la misura della base

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Per altri esercizi svolti sul triangolo potete consultare la pagina del link, se invece siete alla ricerca di problemi risolti sul calcolo dell'altezza al variare del tipo di triangolo, fanno al caso vostro le seguenti pagine:

- altezza triangolo equilatero;

- altezza triangolo isoscele;

- altezza triangolo rettangolo.