Soluzioni
  • L'area del triangolo è la misura della superficie racchiusa tra i tre lati del triangolo e si calcola dividendo per 2 il prodotto tra la misura della base e la misura dell'altezza, oppure usando la formula di Erone, che richiede le misure dei tre lati del triangolo.

    Più in generale, l'area di un triangolo si può calcolare dividendo per 2 il prodotto della misura di un lato qualsiasi e la misura dell'altezza relativa a esso.

     

    Area triangolo

    Un triangolo qualsiasi.

     

    Formule per l'area di un triangolo

    Nella seguente tabella abbiamo riportato sia le formule per l'area di un triangolo qualsiasi, sia le formule specifiche per il calcolo dell'area del triangolo equilatero e del triangolo rettangolo.

    Per il triangolo scaleno e per il triangolo isoscele non esistono formule particolari, ma valgono le formule per il triangolo qualsiasi.

    Prima di passare all'elenco specifichiamo tutti i simboli che abbiamo usato.

    Nel triangolo qualsiasi indichiamo con S l'area, con p il semiperimetro, con AB, \ BC, \ AC le misure dei lati, con h_A l'altezza relativa al lato BC, con h_B l'altezza relativa al lato AC e con h_C l'altezza relativa al lato AB.

    Nel triangolo equilatero 2p è il perimetro, L il lato, H l'altezza, R il raggio della circonferenza circoscritta e r l'apotema, cioè il raggio della circonferenza inscritta.

    Nel triangolo rettangolo c_1 e c_2 sono i due cateti, i è l'ipotenusa e h è l'altezza relativa all'ipotenusa.

     

    Triangolo qualsiasi

     

    Area triangolo con il lato e l'altezza relativa a esso

    \\ S=\frac{AB \times h_C}{2} \\ \\ \\ S=\frac{BC \times h_A}{2} \\ \\ \\ S=\frac{AC \times h_B}{2}

    Area triangolo con la formula di Erone

    S=\sqrt{p \times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)}

    Triangolo equilatero

     

    Area con il lato

    S=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2

    Area con l'altezza

    S=\frac{H^2}{\sqrt{3}}

    Area con il perimetro

    S=\frac{\sqrt{3}}{36}(2p)^2

    Area con l'apotema

    S=3\sqrt{3}r^2

    Area con il raggio circonferenza circoscritta

    S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2

    Triangolo rettangolo

     

    Area con i cateti

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    Area con l'ipotenusa e l'altezza

    S=\frac{i \times h}{2}

     

    Per ogni approfondimento sul triangolo vi rimandiamo alla pagina del link, dove potete consultare un elenco con tutte le formule, le proprietà e le varie classificazioni dei triangoli.

    Esercizi svolti sull'area del triangolo

    I seguenti esercizi svolti sull'area del triangolo qualsiasi sono utili per capire come applicare le formule elencate in tabella, dunque attenzione! ;)

    1) La base di un triangolo misura 12 cm e l'altezza relativa alla base è la metà della base aumentata di 3 cm. Calcolare l'area del triangolo.

    Svolgimento: indichiamo con AB la base e con h_C l'altezza. Sappiamo che

    \\ AB=12 \mbox{ cm} \\ \\ h_C=\frac{1}{2} \times AB + 3\mbox{ cm}

    Dall'ultima relazione possiamo ricavare la misura dell'altezza del triangolo

    h_C=\frac{1}{2} \times AB + 3 \mbox{ cm}= \frac{1}{2} \times (12 \mbox{ cm}) + 3 \mbox{ cm}= 6 \mbox{ cm} + 3 \mbox{ cm} = 9 \mbox{ cm}

    per poi calcolare l'area dividendo per 2 il prodotto tra base e altezza

    S=\frac{AB \times h_C}{2} = \frac{(6 \mbox{ cm}) \times (9 \mbox{ cm})}{2} = \frac{54 \mbox{ cm}^2}{2} = 27 \mbox{ cm}^2

    2) Il perimetro di un triangolo è di 60 decimetri. Calcolare l'area sapendo che due lati misurano, rispettivamente, 20 dm e 25 dm.

    Svolgimento: detti AB, \ AC, \ BC i lati del triangolo supponiamo che

    \\ AB = 20 \mbox{ dm} \\ \\ AC = 25 \mbox{ dm}

    Determiniamo la misura del lato BC invertendo la formula per il calcolo del perimetro di un triangolo

    \\ 2p=AB+AC+BC \\ \\ BC=2p-AB-AC = 60 \mbox{ dm} - 20 \mbox{ dm} - 25 \mbox{ dm} = 15 \mbox{ dm}

    Dopodiché ricaviamo la misura del semiperimetro

    p=\frac{2p}{2}=\frac{60 \mbox{ dm}}{2} = 30 \mbox{ dm}

    e calcoliamo l'area del triangolo con la formula di Erone

    \\ S=\sqrt{p \times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)} = \\ \\ \\ \sqrt{(30 \mbox{ dm}) \times (30 \mbox{ dm} - 20 \mbox{ dm}) \times (30 \mbox{ dm} - 15 \mbox{ dm}) \times (30 \mbox{ dm} - 25 \mbox{ dm})} = \\ \\ \\ \sqrt{(30 \mbox{ dm}) \times (10 \mbox{ dm}) \times (15 \mbox{ dm}) \times (5 \mbox{ dm})}= \\ \\ \\ \sqrt{22500 \mbox{ dm}^4} = 150 \mbox{ dm}^2

    ***

    Potete cimentarvi con tanti altri problemi svolti sul triangolo a partire dalla pagina del link; se invece vi occorrono esercizi specifici sul calcolo dell'area al variare del tipo di triangolo, potete consultare le seguenti pagine:

    - area triangolo equilatero;

    - area triangolo isoscele;

    - area triangolo scaleno;

    - area triangolo rettangolo.

    Infine, per chi ha già studiato un po' di Trigonometria, segnaliamo la nostra lezione sulla formula per il calcolo dell'area di un triangolo qualsiasi. ;)

    Risposta di Galois
 
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