Soluzioni
  • Un prisma a base pentagonale è un prisma che ha per basi due pentagoni congruenti e le cui facce laterali sono parallelogrammi. In alternativa si può definire il prisma pentagonale come un poliedro delimitato da sette facce, di cui due sono pentagoni uguali e paralleli e le restanti sono parallelogrammi.

    I prismi pentagonali seguono la stessa classificazione dei prismi nel caso generale, quindi si può distinguere tra prisma a base pentagonale obliquo, retto o regolare. Nei casi obliquo e retto possiamo inoltre distinguere tra prismi concavi e convessi.

    Procediamo con ordine e analizziamo questi diversi tipi di prisma uno per volta, fornendo le varie definizioni e una rappresentazione grafica.

    Prisma pentagonale obliquo

    Le facce laterali sono parallelogrammi e l'altezza del prisma non è parallela ad alcuno spigolo laterale. Inoltre:

    - se il pentagono di base è un poligono convesso, allora il prisma obliquo si dice convesso;

    - se il pentagono di base è un poligono concavo, allora il prisma obliquo si dice concavo.

     

    Prisma pentagonale obliquo convessoPrisma pentagonale obliquo concavo

    Un prisma obliquo convesso a base pentagonale

    Un prisma obliquo concavo a base pentagonale

     

    Prisma pentagonale retto

    Le facce laterali sono rettangoli e l'altezza del prisma è parallela a ciascuno spigolo laterale. Come nel caso precedente un prisma pentagonale retto si dice:

    - covesso se il pentagono di base è convesso;

    - concavo se il pentagono di base è concavo.

     

    Prisma pentagonale retto convessoPrisma pentagonale retto concavo

    Un prisma retto convesso a base pentagonale

    Un prisma retto concavo a base pentagonale

     

    Prisma pentagonale regolare

    È un prisma retto le cui basi sono pentagoni regolari, dunque le facce laterali sono rettangoli congruenti tra loro.

     

    Prisma regolare pentagonale

    Un prisma regolare a base pentagonale.

     

    Formule del prisma pentagonale

    Ora che abbiamo un'idea chiara di come può essere fatto un prisma a base pentagonale passiamo alle formule, ma prima specifichiamo la corrispondenza tra nomi e simboli.

    Chiamiamo h l'altezza del prisma, S_b l'area della superficie di base, 2p il perimetro di base, V il volume, S_{lat} l'area della superficie laterale, S_{tot} l'area della superficie totale e L lo spigolo di base del prisma pentagonale regolare.

     

    Volume del prisma pentagonale (qualsiasi)

    V=S_b \times h

    Altezza (dal volume)

    h=\frac{V}{S_b}

    Superficie di base (dal volume)

    S_b=\frac{V}{h}

    Superficie totale del prisma pentagonale (qualsiasi)

    S_{tot}=S_{lat}+2S_b

    Superficie laterale (dalla totale)

    S_{lat}=S_{tot}-2S_b

    Superficie di base (dalla totale)

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Formule del prisma retto a base pentagonale

     

    Superficie laterale

    S_{lat}=2p \times h

    Altezza (dalla superficie laterale)

    h=\frac{S_{lat}}{2p}

    Perimetro di base (dalla superficie laterale)

    2p=\frac{S_{lat}}{h}

    Formule del prisma regolare a base pentagonale

     

    Superficie di base (area del pentagono regolare)

    S_b=L^2 \times \varphi\\ \\ S_b= L^2 \times 1,72

    Perimetro di base (perimetro del pentagono regolare)

    2p=5L

    Spigolo di base (dall'area)

    L=\sqrt{\frac{S_b}{\varphi}}

    Spigolo di base (dal perimetro)

    L=\frac{2p}{5}

     

    Nel caso del prisma regolare a base pentagonale è consigliabile conoscere le formule del pentagono regolare.

    Per un ripasso di formule e proprietà di prisma retto e prisma regolare con base qualsiasi vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sul prisma a base pentagonale

    Svolgiamo insieme un paio di problemi sul calcolo di volume, area e altezza di un prisma pentagonale, in modo che possiate familiarizzare con le precedenti formule. ;)

    1) L'area di base di un prisma regolare a base pentagonale è di 3,87 metri quadrati. Calcolare volume, area della superficie laterale e area della superficie totale sapendo che la sua altezza misura 5 metri.

    Svolgimento: disponendo dell'area di base e della misura dell'altezza si può calcolare il volume del prisma

    V=S_b \times h = (3,87 \mbox{ m}^2) \times (5 \mbox{ m}) = 19,35 \mbox{ m}^3

    Troviamo la misura L dello spigolo di base invertendo la formula dell'area del pentagono

    \\ S_b = L^2 \times \varphi \\ \\ L=\sqrt{\frac{S_b}{\varphi}}=\sqrt{\frac{3,87 \mbox{ m}^2}{1,72}} = \sqrt{2,25 \mbox{ m}^2} = 1,5 \mbox{ m}

    Fatto ciò calcoliamo:

    - l'area della superficie totale come prodotto tra perimetro di base e altezza del prisma

    S_{lat} = 2p \times h = 5 \times L \times h = 5 \times (1,5 \mbox{ m}) \times (5 \mbox{ m}) = 37,5 \mbox{ m}^2

    - l'area della superficie totale come somma tra area della superficie laterale e il doppio dell'area di base

    \\ S_{tot} = S_{lat} + 2 S_b = 37,5 \mbox{ m}^2 + 2 \times (3,87 \mbox{ m}^2) = \\ \\ = 37,5 \mbox{ m}^2 + 7,74 \mbox{ m}^2 = 45,24 \mbox{ m}^2

    2) Il lato di base di un prisma pentagonale regolare è di 4 cm. Determinare la misura dell'altezza e il volume del prisma sapendo che l'area della superficie laterale è di 160 cm2.

    Svolgimento: per calcolare l'altezza dividiamo l'area della superficie laterale per il perimetro di base

    h=\frac{S_{lat}}{2p} = \frac{S_{lat}}{5L} = \frac{160 \mbox{ cm}^2}{5 \times (4 \mbox{ cm})} = \frac{160 \mbox{ cm}^2}{20 \mbox{ cm}} = 8 \mbox{ cm}

    Possiamo ora calcolare il volume

    \\ V=L^2 \times \varphi \times h = (4 \mbox{ cm})^2 \times 1,72 \times (8 \mbox{ cm}) = \\ \\ = (16 \mbox{ cm}^2) \times 1,72 \times (8 \mbox{ cm}) = 220,16 \mbox{ cm}^3

    ***

    Non c'è altro da aggiungere, se non invitarvi a consultare la nostra scheda di esercizi svolti sul prisma - click! ;)

    Risposta di Galois
 
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