Soluzioni
  • L'apotema di un cono è l'ipotenusa del triangolo rettangolo dalla cui rotazione attorno a uno dei due cateti si ottiene il cono stesso. In modo equivalente possiamo definire l'apotema del cono come il segmento che congiunge il vertice con un qualsiasi punto della circonferenza di base.

     

    Apotema cono

    Apotema a di un cono.

     

    Formule per l'apotema del cono

    La misura dell'apotema di un cono può essere calcolata da altezza e raggio di base, oppure dall'area della superficie laterale.

    Prima di riportare le formule specifichiamo i simboli che useremo: r è il raggio di base, h l'altezza del cono, a l'apotema, S_{lat} l'area della superficie laterale.

     

    Apotema del cono con altezza e raggio

    a=\sqrt{h^2+r^2}

    Apotema del cono con area della superficie laterale

    a=\frac{S_{lat}}{\pi r}

    Apotema del cono equilatero

    a=2r

     

    Nel nostro formulario sul cono potete consultare un elenco con tutte le formule, comprese le formule inverse dell'apotema.

    Esercizi svolti sull'apotema del cono

    Vediamo qualche esempio di problemi sull'apotema del cono e cerchiamo di capire da dove derivano le precedenti formule. Qui di seguito ci occupiamo delle principali tipologie di esercizi.

    Calcolo apotema cono con raggio e altezza

    Per determinare l'apotema disponendo del raggio di base e dell'altezza dobbiamo estrarre la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure di altezza e raggio

    a=\sqrt{h^2+r^2}

    La precedente formula è una conseguenza del teorema di Pitagora, infatti raggio di base e altezza di un cono sono i cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è l'apotema.

    Esempio

    Il perimetro del cerchio di base di un cono è di 34,54 cm. Calcolare la misura dell'apotema del cono sapendo che la sua altezza è di 4,8 cm.

    Svolgimento: determiniamo il raggio di base invertendo la formula del perimetro del cerchio

    \\ 2p = 2 \pi r \\ \\ r=\frac{2p}{2\pi} \simeq \frac{34,54 \mbox{ cm}}{2 \cdot 3,14} \simeq \frac{34,54 \mbox{ cm}}{6,28} \simeq 5,5 \mbox{ cm}

    Possiamo ora calcolare la lunghezza dell'apotema

    \\ a=\sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{(4,8 \mbox{ cm})^2 + (5,5 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{23,04 \mbox{ cm}^2 + 30,25 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{53,29 \mbox{ cm}^2} = 7,3 \mbox{ cm}

    Calcolo apotema cono con area della superficie laterale

    La superficie laterale del cono si calcola moltiplicando la costante Pi Greco per il prodotto tra apotema e raggio di base

    S_{lat} = \pi r a

    Invertendo in favore dell'apotema si ottiene la formula per l'apotema con area della superficie laterale e raggio

    a=\frac{S_{lat}}{\pi r}

    Esempio

    L'area del cerchio alla base in un cono è di 12,56 metri quadrati, mentre l'area della superficie laterale è di 50,24 m2. Quanto misura il suo apotema?

    Svolgimento: dalla formula dell'area del cerchio

    A=\pi r^2

    possiamo risalire alla misura del raggio

    r=\sqrt{\frac{A}{\pi}} \simeq \sqrt{\frac{12,56 \mbox{ m}^2}{3,14}} \simeq \sqrt{4 \mbox{ m}^2} = 2 \mbox{ m}

    per poi calcolare la misura dell'apotema dall'area della superficie laterale

    a=\frac{S_{lat}}{\pi r} \simeq \frac{50,24 \mbox{ m}^2}{3,14 \cdot (2 \mbox{ m})} \simeq \frac{50,24 \mbox{ m}^2}{6,28 \mbox{ m}} \simeq 8 \mbox{ m}

    Calcolo apotema cono equilatero

    Un cono si dice equilatero se l'apotema è congruente al diametro del cerchio di base. Poiché il diametro è il doppio del raggio, l'apotema di un cono equilatero è il doppio del raggio di base

    a = 2r

    Esempio

    La lunghezza della circonferenza alla base di un cono equilatero è di 28,26 decimetri. Calcolare la misura dell'apotema.

    Svolgimento: indichiamo con 2p la lunghezza della circonferenza, che si calcola moltiplicando il doppio del raggio per la costante Pi Greco

    2p = 2 \pi r

    Invertiamo la precedente formula in favore di 2r

    2r = \frac{2p}{\pi} \simeq \frac{28,26 \mbox{ dm}}{3,14} \simeq 9 \mbox{ dm}

    Poiché il cono è equilatero, la misura dell'apotema uguaglia il doppio il raggio, quindi

    a = 2r = 9 \mbox{ dm}

    ***

    Ora tocca a voi! Continuate ad allenarvi con i nostri problemi svolti sul cono. ;)

    Risposta di Galois
 
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