Soluzioni
  • La superficie laterale del cono è la superficie di un triangolo mistilineo che ha per base un arco di circonferenza e i lati obliqui congruenti. Si calcola moltiplicando tra loro la costante Pi Greco, la misura del raggio del cerchio di base e la misura dell'apotema del cono.

    Per capire come è fatta basta disegnare lo sviluppo di un cono, che è formato da un cerchio e da un triangolo mistilineo, come mostra le seguente immagine:

     

    Superficie laterale cono

     

    Per calcolare l'area della superficie laterale di un cono si può sottrarre l'area della della superficie di base dall'area della superficie totale, oppure moltiplicare la costante Pi Greco per il prodotto tra la misura dell'apotema e la misura del raggio del cerchio di base.

     

    Area-superficie-laterale-cono

    Area superficie laterale cono = π · r · a

     

    Formule per l'area della superficie laterale del cono

    Nella tabella sottostante abbiamo riportato le tre formule dirette con cui è possibile calcolare l'area della superficie laterale di un cono, ma prima è bene specificare il significato dei simboli che abbiamo usato: S_{tot} è l'area della superficie totale, S_{lat} l'area della superficie laterale e S_{b} l'area del cerchio di base. Inoltre r indica il raggio di base, h l'altezza del cono e a il suo apotema.

     

    Area superficie laterale cono con area superficie totale e area di base

    S_{lat} = S_{tot}-S_{b}

    Area superficie laterale cono con raggio di base e apotema

    S_{lat} = \pi \cdot r \cdot a

     

    Per tutti gli approfondimenti sul cono e per un elenco completo di tutte le formule vi rimandiamo al formulario del link.

    Esercizi svolti sull'area della superficie laterale del cono

    Passiamo agli esercizi e vediamo come si risolvono i problemi sul calcolo dell'area della superficie laterale di un cono analizzando le tipologie di esercizi più ricorrenti e mostrando un esempio per tipo.

    Calcolo area superficie laterale cono con raggio e apotema

    Conoscendo le misure di apotema e raggio, per determinare l'area della superficie laterale è sufficiente moltiplicare la costante Pi Greco per il prodotto delle misure di raggio e apotema

    S_{lat} = \pi \cdot r \cdot a

    Esempio

    Calcolare l'area della superficie laterale di un cono di cui è noto che raggio di base e apotema misurano, rispettivamente, 2,5 cm e 8 cm.

    Svolgimento:

    S_{lat} = \pi \cdot r \cdot a = \pi \cdot (2,5 \mbox{ cm}) \cdot (8 \mbox{ cm}) = 20\pi \mbox{ cm}^2 \simeq 62,8 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area superficie laterale cono con area della superficie totale

    L'area della superficie laterale si può calcolare come differenza tra l'area della superficie totale e l'area di base

    S_{lat}=S_{tot}-S_{b}

    Per poter determinare l'area della superficie laterale dall'area della superficie totale dobbiamo quindi conoscere anche l'area di base o di qualche altro dato utile per poterla calcolare.

    Esempio

    L'area della superficie totale di un cono è di 50,26 cm2. Calcolare l'area della superficie laterale sapendo che il perimetro del cerchio di base è di 18,84 cm.

    Svolgimento: dalla formula del perimetro del cerchio

    2p=2\pi r

    possiamo calcolare la misura del raggio

    r=\frac{2p}{2\pi} \simeq \frac{18,84 \mbox{ cm}}{2 \cdot 3,14} \simeq \frac{18,84 \mbox{ cm}}{6,28} \simeq 3 \mbox{ cm}

    Dopodiché si può individuare l'area del cerchio di base

    S_b = \pi r^2 = \pi \cdot (3 \mbox{ cm})^2 \simeq 3,14 \cdot (9 \mbox{ cm}^2) \simeq 28,26 \mbox{ cm}^2

    e quindi calcolare l'area della superficie laterale come differenza

    S_{lat}=S_{tot}-S_{b} = 50,26 \mbox{ cm}^2 - 28,26 \mbox{ cm}^2 = 22 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area superficie laterale cono con altezza

    L'altezza di un cono è il cateto di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è l'apotema e in cui l'altro cateto è il raggio del cerchio di base. Quindi, per il teorema di Pitagora

    a^2 = h^2 + r^2

    Di conseguenza:

    - se sono note le misure di altezza e apotema possiamo ricavare la misura del raggio

    r=\sqrt{a^2-h^2}

    - se si conoscono le misure di altezza e raggio si può determinare la lunghezza dell'apotema

    a=\sqrt{h^2+r^2}

    In entrambi i casi, se disponiamo di raggio e apotema, possiamo calcolare l'area della superficie laterale con la relativa formula

    S_{lat} = \pi \cdot r \cdot a

    Esempio

    L'altezza di un cono è di 1,5 decimetri e il suo apotema misura 1,7 decimetri. Calcolare l'area della superficie laterale.

    Svolgimento: troviamo la misura del raggio con il teorema di Pitagora

    \\ r=\sqrt{a^2-h^2} = \sqrt{(1,7 \mbox{ dm})^2 - (1,5 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{2,89 \mbox{ dm}^2 - 2,25 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{0,64 \mbox{ dm}^2} = 0,8 \mbox{ dm}

    dopodiché passiamo all'area della superficie laterale

    S_{lat} = \pi \cdot r \cdot a = \pi \cdot (0,8 \mbox{ dm}) \cdot (1,7 \mbox{ dm}) = \pi \cdot (1,36 \mbox{ dm}^2) \simeq 4,2704 \mbox{ dm}^2

    Calcolo area superficie laterale cono con volume

    Il volume non è un dato sufficiente per risalire all'area della superficie laterale; sarà quindi il testo del problema a fornirci qualche altro dato necessario per determinare le misure di raggio e apotema, in modo da usare la solita formula

    S_{lat} = \pi \cdot r \cdot a

    Esempio

    Determinare l'area della superficie laterale di un cono il cui volume è di 314 metri cubi e la cui altezza misura 12 metri.

    Svolgimento: invertendo la formula per il calcolo del volume di un cono

    V=\frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}

    possiamo ricavare la misura del raggio

    r=\sqrt{\frac{3V}{\pi \cdot h}} \simeq \sqrt{\frac{3 \cdot (314 \mbox{ m}^3)}{3,14 \cdot (12 \mbox{ m})}}=\sqrt{\frac{942 \mbox{ m}^3}{37,68 \mbox{ m}}} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2} = 5 \mbox{ m}

    Per calcolare l'area della superficie laterale ci serve la misura dell'apotema, che possiamo ricavare col teorema di Pitagora

    \\ a=\sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{(12 \mbox{ m})^2+(5 \mbox{ m})^2} = \\ \\ = \sqrt{144 \mbox{ m}^2 + 25 \mbox{ m}^2} = \sqrt{169 \mbox{ m}^2} = 13 \mbox{ m}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per concludere l'esercizio

    S_{lat} = \pi \cdot r \cdot a = \pi \cdot (5 \mbox{ m}) \cdot (13 \mbox{ m}) = 65\pi \mbox{ m}^2 \simeq 204,1 \mbox{ m}^2

    ***

    Nella nostra scheda di esercizi sul cono trovate altri problemi svolti con cui continuare ad allenarvi.

    Risposta di Galois
 
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