Soluzioni
  • Si definiscono parabole congruenti due o più parabole che possono essere perfettamente sovrapposte per mezzo di un'isometria. In accordo con la definizione di figure congruenti, due parabole sono congruenti se attraverso un movimento rigido è possibile sovrapporre la prima parabola alla seconda (o la seconda alla prima) in modo tale che le due parabole coincidano punto per punto.

    Ad esempio, le due parabole di equazione

    y=x^2 e x=y^2+2

    sono parabole congruenti, infatti attraverso una rototraslazione è possibile sovrapporre la seconda parabola alla prima. Tale rototraslazione è individuata:

    - da una rotazione di 90° in senso antiorario della seconda parola rispetto all'origine degli assi coordinati,

    - da una traslazione di vettore \overline{v}=(0,-2) della parabola ruotata.

     

    [[Parabole-congruenti.png]]

     

    Nel seguito abbiamo mostrato il procedimento algebrico che permette di dimostrare che le due parabole sono effettivamente congruenti. Se non avete ancora studiato le formule dei cambiamenti di coordinate potete passare al paragrafo successivo.

    Le leggi che descrivono una rotazione di 90° in senso antiorario rispetto all'origine del sistema di riferimento sono:

    \begin{cases}x'=x\cos(\theta)-y\sin(\theta) \\ y'=x\sin(\theta)+y\cos(\theta)\end{cases}, \ \mbox{ con } \theta=90^{\circ}

    Il coseno di 90° è 0, mentre il seno di 90° è 1, quindi

    \begin{cases}x'=-y \\ y'=x\end{cases}

    Invertiamo le due uguaglianze

    \begin{cases}y=-x' \\ x=y'\end{cases}

    e sostituiamole nell'equazione della parabola x=y^2+2, ottenendo così l'equazione della parabola ruotata

    y'=(-x')^2+2 \ \to \ y'=(x')^2+2

    che possiamo tranquillamente riscrivere senza gli apici

    y=x^2+2

    Applichiamo ora una traslazione di vettore \overline{v}=(0,-2) definita dalla seguenti leggi

    \begin{cases}x'=x+a \\ y'=y+b\end{cases}

    dove a e b sono le componenti del vettore \overline{v} che definisce la traslazione.

    Nel caso in esame a=0 \mbox{ e } b=-2, quindi la traslazione è definita dalla seguente coppia di equazioni

    \begin{cases}x'=x \\ y'=y-2\end{cases}

    Come prima, invertiamo le due uguaglianze

    \begin{cases}x=x' \\ y=y'+2\end{cases}

    e sostituiamole nell'equazione della parabola ruotata

    \\ y=x^2+2 \\ \\ y'+2 = (x')^2+2

    Semplificando e trascurando gli apici otteniamo la stessa equazione della prima parabola

    y=x^2

    e ciò conferma che le due parabole sono congruenti.

    Concorderete con noi che non è sempre così semplice stabilire se esiste un'isometria che permetta di trasformare una parabola nell'altra. Fortunatamente esiste un metodo molto più veloce, che abbiamo spiegato nel seguito.

    Studio della congruenza tra parabole

    Per stabilire se due parabole sono congruenti è sufficiente osservare la loro equazione, infatti due parabole sono congruenti se coincide il valore assoluto dei coefficienti dei termini quadratici delle loro equazioni.

    \begin{matrix}y=ax^2+bx+c \\ y=a'x^2+b'x+c\end{matrix} \ \mbox{ parabole congruenti} \iff |a|=|a'|

    Nella precedente formula abbiamo riportato il caso di due parabole con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, ma la definizione non cambia se una o entrambe le parabole hanno asse di simmetria parallelo all'asse x.

    Esempio

    Le parabole di equazione

    \\ y=2x^2+3x-5 \\ \\ y=-2x^2-7x

    sono congruenti, infatti

    |2|=|-2|=2

    Esercizio sulla congruenza tra parabola al variare del parametro

    Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} le due parabole date sono congruenti

    \\ y=(k^2-1)x^2+3x-5 \\ \\ x=(k+1)y^2-2y+7k

    Anzitutto osserviamo che per k=-1 si annullano i coefficienti dei termini quadratici di entrambi i fasci di parabole, quindi affinché le due equazioni definiscano delle parabole dev'essere k \neq -1

    Per risolvere l'esercizio dobbiamo poi imporre l'uguaglianza dei valori assoluti dei coefficienti dei termini quadratici, cioè trovare le soluzioni della seguente equazione con valori assoluti nell'incognita k

    |k^2-1| = |k+1|

    Ciò equivale a dover risolvere separatamente le due equazioni

    \\ k^2-1=k+1 \\ \\ k^2-1=-k-1

    per poi unire le soluzioni trovate.

    Cominciamo dalla prima

    k^2-1=k+1 \to k^2-k-2=0

    Siamo di fronte a un'equazione di secondo grado; calcoliamo il discriminante

    \Delta=b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-2) = 1 + 8 = 9

    Essendo il delta un numero maggiore di zero, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte, date da

    k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}

    Ossia

    \\ k_1=\frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\ \\ \\ k_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2

    Passiamo alla seconda equazione

    k^2-1=-k-1 \to k^2+k=0

    Raccogliamo a fattor comune il fattore k

    k(k+1)=0

    e poniamo ciascun fattore uguale a zero, ottenendo

    k=0 \\ \\ k+1=0 \to k=-1

    Uniamo le soluzioni trovate

    k=-1 \ \vee \ k=0 \ \vee k=2

    Per quanto osservato inizialmente, la soluzione k=-1 dev'essere esclusa, quindi i valori del parametro k che individuano due parabole congruenti sono:

    k=0 \mbox{ e } k=2

    ***

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    Risposta di Galois
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