Soluzioni
  • Si definiscono parabole congruenti due o più parabole che possono essere perfettamente sovrapposte per mezzo di un'isometria. In accordo con la definizione di figure congruenti, due parabole sono congruenti se è possibile sovrapporre la prima alla seconda (o la seconda alla prima) mediante un movimento rigido, in modo che esse coincidano punto per punto.

    Ad esempio, le due parabole di equazione

    y=x^2\\ \\ x=y^2+2

    sono parabole congruenti, infatti è possibile sovrapporre la seconda parabola alla prima con una rototraslazione.

    Tale rototraslazione è individuata:

    - da una rotazione di 90° in senso antiorario della seconda parabola rispetto all'origine degli assi coordinati,

    - da una traslazione di vettore \overline{v}=(0,-2) della parabola ruotata.

     

    Parabole congruenti

    Esempio di parabole congruenti.

     

    Vediamo qual è il procedimento algebrico che permette di dimostrare che le due parabole sono effettivamente congruenti. Se non avete ancora studiato le formule dei cambiamenti di coordinate potete passare al paragrafo successivo.

    Le leggi che descrivono una rotazione di 90° in senso antiorario rispetto all'origine del sistema di riferimento sono:

    \begin{cases}x'=x\cos(\theta)-y\sin(\theta) \\ y'=x\sin(\theta)+y\cos(\theta)\end{cases}, \ \mbox{ con } \theta=90^{\circ}

    Il coseno di 90° è 0 mentre il seno di 90° è 1, quindi

    \begin{cases}x'=-y \\ y'=x\end{cases}

    Invertiamo le due uguaglianze

    \begin{cases}y=-x' \\ x=y'\end{cases}

    e sostituiamole in x=y^2+2, ottenendo così l'equazione della parabola ruotata

    x=y^2+2 \ \to\ y'=(-x')^2+2 \ \to \ y'=(x')^2+2

    che possiamo tranquillamente riscrivere senza gli apici

    y=x^2+2

    Applichiamo ora una traslazione di vettore \overline{v}=(0,-2) definita dalla seguenti leggi

    \begin{cases}x'=x+a \\ y'=y+b\end{cases}

    dove a e b sono le componenti del vettore \overline{v} che definisce la traslazione.

    Nel caso in esame a=0 \mbox{ e } b=-2, quindi la traslazione è definita dalla seguente coppia di equazioni

    \begin{cases}x'=x \\ y'=y-2\end{cases}

    Come prima, invertiamo le due uguaglianze

    \begin{cases}x=x' \\ y=y'+2\end{cases}

    e sostituiamole nell'equazione della parabola ruotata

    y=x^2+2 \ \to\ y'+2 = (x')^2+2

    Semplifichiamo e rimuoviamo gli apici. Otteniamo

    y=x^2

    e ciò conferma che le due parabole sono congruenti.

    Concorderete con noi che non è sempre così semplice stabilire se esiste un'isometria che permette di trasformare una parabola nell'altra, ma fortunatamente esiste un metodo molto più veloce. Vediamolo... ;)

    Studio della congruenza tra parabole

    Per stabilire se due parabole sono congruenti è sufficiente osservarne le equazioni, infatti due parabole sono congruenti se i valori assoluti dei coefficienti dei termini quadratici delle loro equazioni coincidono.

    \begin{matrix}y=ax^2+bx+c \\ \\ y=a'x^2+b'x+c\end{matrix} \ \mbox{ parabole congruenti} \iff |a|=|a'|

    Nella precedente formula abbiamo riportato il caso di due parabole con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, ma la definizione non cambia se una o entrambe le parabole hanno asse di simmetria parallelo all'asse x.

    Esempio

    Le parabole di equazione

    \\ y=2x^2+3x-5 \\ \\ y=-2x^2-7x

    sono congruenti, infatti

    |2|=|-2|=2

    Esercizio sulla congruenza tra parabola al variare del parametro

    Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} le due parabole date sono congruenti

    \\ y=(k^2-1)x^2+3x-5 \\ \\ x=(k+1)y^2-2y+7k

    Svolgimento: innanzitutto osserviamo che per k=-1 si annullano i coefficienti dei termini quadratici di entrambi i fasci di parabole, quindi affinché le due equazioni definiscano effettivamente delle parabole deve essere

    k \neq -1

    Per risolvere l'esercizio dobbiamo imporre l'uguaglianza dei valori assoluti dei coefficienti dei termini quadratici, cioè trovare le soluzioni della seguente equazione con valori assoluti nell'incognita k

    |k^2-1| = |k+1|

    Ciò equivale a dover risolvere separatamente le due equazioni

    \\ k^2-1=k+1 \ \ ;\ \ k^2-1=-k-1

    per poi considerare l'unione degli insiemi soluzione.

    Cominciamo dalla prima

    k^2-1=k+1 \to k^2-k-2=0

    Siamo di fronte a un'equazione di secondo grado; calcoliamo il discriminante

    \Delta=b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-2) = 1 + 8 = 9

    Poiché il delta è maggiore di zero l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte, date da

    k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}

    Ossia

    \\ k_1=\frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\ \\ \\ k_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2

    Passiamo alla seconda equazione

    k^2-1=-k-1 \to k^2+k=0

    Raccogliamo a fattor comune il fattore k

    k(k+1)=0

    e poniamo ciascun fattore uguale a zero, ottenendo

    k=0 \\ \\ k+1=0 \to k=-1

    Uniamo le soluzioni trovate

    k=-1 \ \vee \ k=0 \ \vee k=2

    Per quanto osservato inizialmente la soluzione k=-1 dev'essere esclusa, quindi i valori del parametro k che individuano coppie di parabole congruenti sono:

    k=0 \mbox{ e } k=2

    ***

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    Risposta di Galois
 
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