Soluzioni
  • Col termine quadrante si possono intendere oggetti differenti a seconda del contesto. Ne sono degli esempi:

    - il quadrante di un orologio, che è la parte dell'orologio su cui si può leggere l'orario, solitamente a forma quadrata, rettangolare o circolare;

    - il quadrante astronomico, uno strumento di misura usato per misure l'altezza angolare di un corpo celeste rispetto al piano dell'orizzonte;

    - il quadrante di un cerchio, pari alla metà di un semicerchio;

    - il quadrante del piano cartesiano, definito come ciascuna delle quattro parti in cui il piano cartesiano è diviso dagli assi coordinati.

    Detto ciò, concentriamo la nostra attenzione sui due tipi di quadrante che si studiano in Matematica.

    Quadrante cerchio

    Si dice quadrante di un cerchio (o quadrante circolare) ognuna delle quattro parti in cui un cerchio resta diviso da due diametri perpendicolari tra loro. In alternativa, il quadrante circolare può essere definito la parte di cerchio delimitata da due raggi perpendicolari e da un quarto di circonferenza.

     

    [[Quadrante-cerchio.png]]

    Quadrante circolare

     

    Se indichiamo con r la misura del raggio, con A l'area del quadrante e con 2p il suo perimetro, dalla definizione di quadrante circolare segue che:

    1) L'area di un quadrante è pari a 1/4 dell'area del cerchio a cui appartiene, ossia

    A=\frac{\pi r^2}{4}

    2) Il perimetro di un quadrante si ottiene sommando il doppio del raggio a 1/4 del perimetro del cerchio; in formule:

    2p = 2r + \frac{2\pi r}{4} = 2r+\frac{\pi r}{2}

    Per tutte le formule sul quadrante circolare, comprese le formule inverse di area e perimetro, vi rimandiamo alla pagina del link.

    Esempio sul calcolo di perimetro e area di un quadrante circolare

    Calcolare area e perimetro di un quadrante circolare il cui raggio misura 8 cm.

    Per risolvere l'esercizio basta usare le formule per il calcolo di area e perimetro poc'anzi riportate

    \\ A = \frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi \cdot (8 \mbox{ cm})^2}{4} = \frac{64\pi \mbox{ cm}^2}{4} = 16\pi \mbox{ cm}^2 \simeq 50,24 \mbox{ cm}^2 \\ \\ \\ 2p = 2r+\frac{\pi r}{2} = 2 \cdot (8 \mbox{ cm}) + \frac{\pi \cdot (8 \mbox{ cm})}{2} = 16 \mbox{ cm} + 4\pi \mbox{ cm} \simeq \\ \\ \simeq 16 \mbox{ cm} + 12,56 \mbox{ cm} \simeq 28,56 \mbox{ cm}

    Quadrante piano cartesiano

    Nel piano cartesiano, prende il nome di quadrante ognuna delle 4 parti in cui il piano cartesiano è diviso dall'asse x e dall'asse y.

    Ogni quadrante ha per nome un numero ordinale (primo, secondo, terzo e quarto), solitamente indicato in numeri romani. In particolare, si dice:

    - primo quadrante (I quadrante), quello in alto a destra;

    - secondo quadrante (II quadrante), quello in alto a sinistra;

    - terzo quadrante (III quadrante), quello in basso a sinistra;

    - quarto quadrante (IV quadrante), quello in basso a destra.

     

    [[Quadrante-piano-cartesiano.png]]

    Quadranti del piano cartesiano

     

    Segno di un quadrante cartesiano

    Come evidenziato nella precedente immagine, a ogni quadrante cartesiano è associata una coppia di segni che specifica il segno (positivo o negativo) delle coordinate cartesiane di un punto.

    1) (+,+) è la coppia di segni riferita al I quadrante, e ciò vuol dire che un punto P(x_P, y_P) appartiene al primo quadrante se e solo se entrambe le coordinate sono positive

    P(x_P, y_P) \in \mbox{ I quadrante } \iff x_P >0 \mbox{ e } y_P >0

    2) (-,+) è la coppia di segni associata al II quadrante, ragion per cui P(x_P, y_P) è un punto del secondo quadrante se e solo se la sua ascissa è negativa e la sua ordinata è positiva

    P(x_P, y_P) \in \mbox{ I quadrante } \iff x_P <0 \mbox{ e } y_P >0

    3) (-,-) è la coppia di segni del III quadrante, quindi un punto P(x_P, y_P) è situato nel terzo quadrante se e solo se entrambe le coordinate sono negative

    P(x_P, y_P) \in \mbox{ III quadrante } \iff x_P <0 \mbox{ e } y_P <0

    4) (+,-) è la coppia di segni che caratterizza il IV quadrante, cosicché un punto P(x_P, y_P) giace nel quarto quadrante se e solo se la sua ascissa è positiva e la sua ordinata è negativa

    P(x_P, y_P) \in \mbox{ IV quadrante } \iff x_P >0 \mbox{ e } y_P <0

    Esempio

    Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} il punto P(k-2, k-1) appartiene al primo quadrante.

    Affinché un punto appartenga al primo quadrante entrambe le sue coordinate devono essere positive, quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema di disequazioni

    \begin{cases}k-2>0 \\ k-1>0 \end{cases}

    in cui abbiamo imposto che le coordinate del punto P(k-2, k-1) siano positive.

    Entrambe le disequazioni del sistema sono due disequazioni di primo grado:

    \\ k-2 > 0 \iff k>2 \\ \\ k-1>0 \iff k>1

    e la soluzione del sistema è

    k>2

    Pertanto il punto P(k-2, k-1) appartiene al primo quadrante se k>2.

    ***

    Per leggere altri esempi vi rimandiamo alla nostra pagina sui quadranti nel piano cartesiano - click!

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria