Formule della diagonale del parallelepipedo e metodi di calcolo
Cos'è la diagonale di un parallelepipedo e come se ne calcola la misura? Quante sono le diagonali di un parallelepipedo, e di quali proprietà godono?
Potreste scrivere un elenco di tutte le formule e mostrarmi qualche problema svolto?
In particolare vorrei sapere se è possibile calcolare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo dal volume, oppure conoscendo le misure dell'altezza del parallelepipedo e della diagonale di base.
Si dice diagonale di un parallelepipedo uno qualsiasi dei 4 segmenti che congiunge due vertici di un parallelepipedo non appartenenti alla stessa faccia e che non sono estremi dello stesso spigolo. La diagonale di un parallelepipedo rettangolo di calcola come D=√(a2+b2+h2).
Diagonale del parallelepipedo e del parallelepipedo rettangolo
Nella seguente immagine abbiamo tracciato una delle quattro diagonali di un parallelepipedo obliquo.
Esempio di diagonale di un parallelepipedo.
Non esistono formule dirette che permettono di calcolare la misura della diagonale di un parallelepipedo qualsiasi, motivo per cui negli esercizi ci si concentra solo sul parallelepipedo rettangolo, in cui le 4 diagonali sono tra loro congruenti.
Diagonale D di un parallelepipedo rettangolo.
Formule diagonale parallelepipedo rettangolo
Nelle seguenti formule per la misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo abbiamo indicato con la diagonale del parallelepipedo, con
la diagonale del rettangolo di base ed infine con
,
e
le dimensioni del parallelepipedo, dove
e
sono le dimensioni del rettangolo di base e
l'altezza del parallelepipedo.
Tipo di formula | Formula per la diagonale del parallelepipedo rettangolo |
Diagonale parallelepipedo rettangolo con diagonale di base e altezza | |
Diagonale parallelepipedo rettangolo con dimensioni |
Per un elenco completo con tutte le formule e le proprietà del parallelepipedo rettangolo vi rimandiao alla lezione del link.
Esercizi svolti diagonale parallelepipedo rettangolo
Passiamo alla pratica e vediamo come risolvere gli esercizi sul calcolo della diagonale del parallelepipedo; ognuno dei problemi proposti è interamente svolto e spiegato nei minimi dettagli.
Calcolo diagonale parallelepipedo con diagonale di base e altezza
La diagonale di un parallelepipedo rettangolo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti la diagonale del rettangolo di base e l'altezza del parallelepipedo.
Possiamo quindi calcolarne la misura usando il teorema di Pitagora, secondo cui la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è la radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti. In formule
Esempio
L'altezza di un parallelepipedo rettangolo misura 12 cm. Calcolare la misura della diagonale sapendo che una delle dimensioni del rettangolo di base è di 3 cm e che la sua area è 12 cm2.
Svolgimento: conoscendo l'area del rettangolo di base
e la misura di una delle sue dimensioni
possiamo calcolare la misura della dimensione incognita invertendo la formula per il calcolo dell'area di un rettangolo
Ora possiamo ricavare la misura della diagonale del rettangolo di base con il teorema di Pitagora
per poi trovare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo con la relativa formula
Calcolo diagonale parallelepipedo dalle dimensioni
Per determinare la misura della diagonale dalle dimensioni si deve calcolare la radice quadrata della somma dei quadrati delle tre dimensioni del parallelepipedo
La relazione tra diagonale e dimensioni del parallelepipedo deriva dalla formula vista in precedenza
in cui il quadrato della diagonale del rettangolo di base è stato sostituito con la somma dei quadrati delle sue dimensioni.
Esempio
Il volume di un parallelepipedo rettangolo è di 36 metri cubi e il perimetro del rettangolo di base misura 10 metri. Calcolare la misura della diagonale del parallelepipedo sapendo che una dimensione del rettangolo di base è di 2 metri.
Svolgimento: scriviamo i dati forniti dal testo del problema
Il perimetro di un rettangolo si ottiene moltiplicando per 2 la somma delle dimensioni
Calcoliamo la misura della dimensione invertendo la formula del perimetro in suo favore
Dalla formula per il calcolo del volume di un parallelepipedo possiamo ricavare la misura dell'altezza
Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare la lunghezza della diagonale
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