Soluzioni
  • Si dice diagonale di un parallelepipedo uno qualsiasi dei 4 segmenti che congiunge due vertici di un parallelepipedo non appartenenti alla stessa faccia e che non sono estremi dello stesso spigolo. Nella seguente immagine abbiamo tracciato una delle quattro diagonali di un parallelepipedo obliquo.

     

    Diagonale parallelepipedo

    Esempio di diagonale di un parallelepipedo.

     

    Non esistono formule dirette che permettono di calcolare la misura della diagonale di un parallelepipedo qualsiasi, motivo per cui negli esercizi ci si concentra solo sul parallelepipedo rettangolo, in cui le 4 diagonali sono tra loro congruenti.

     

    Diagonale parallelepipedo rettangolo

    Diagonale D di un parallelepipedo rettangolo.

     

    Formule diagonale parallelepipedo rettangolo

    Nelle seguenti formule per la misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo abbiamo indicato con D la diagonale del parallelepipedo, con d la diagonale del rettangolo di base ed infine con a, b e h le dimensioni del parallelepipedo, dove a e b sono le dimensioni del rettangolo di base e h l'altezza del parallelepipedo.

     

    Diagonale parallelepipedo con diagonale di base e altezza

    D=\sqrt{d^2+h^2}

    Diagonale parallelepipedo con dimensioni

    D=\sqrt{a^2+b^2+h^2}

     

    Per un elenco completo con tutte le formule e le proprietà del parallelepipedo rettangolo vi rimandiao alla lezione del link.

    Esercizi svolti diagonale parallelepipedo rettangolo

    Passiamo alla pratica e vediamo come risolvere gli esercizi sul calcolo della diagonale del parallelepipedo; ognuno dei problemi proposti è interamente svolto e spiegato nei minimi dettagli.

    Calcolo diagonale parallelepipedo con diagonale di base e altezza

    La diagonale di un parallelepipedo rettangolo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti la diagonale del rettangolo di base e l'altezza del parallelepipedo.

    Possiamo quindi calcolarne la misura usando il teorema di Pitagora, secondo cui la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è la radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti. In formule

    D=\sqrt{d^2+h^2}

    Esempio

    L'altezza di un parallelepipedo rettangolo misura 12 cm. Calcolare la misura della diagonale sapendo che una delle dimensioni del rettangolo di base è di 3 cm e che la sua area è 12 cm2.

    Svolgimento: conoscendo l'area del rettangolo di base

    S_b = 12 \mbox{ cm}^2

    e la misura di una delle sue dimensioni

    a = 3 \mbox{ cm}

    possiamo calcolare la misura della dimensione incognita invertendo la formula per il calcolo dell'area di un rettangolo

    S_b = a \cdot b \\ \\ b=\frac{S_b}{a} = \frac{12 \mbox{ cm}^2}{3 \mbox{ cm}} = 4 \mbox{ cm}

    Ora possiamo ricavare la misura della diagonale del rettangolo di base con il teorema di Pitagora

    \\ d=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(3 \mbox{ cm})^2 + (4 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{9 \mbox{ cm}^2 + 16 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    per poi trovare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo con la relativa formula

    \\ D=\sqrt{d^2+h^2}= \sqrt{(5 \mbox{ cm})^2 + (12 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2 + 144 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{169 \mbox{ cm}^2} = 13 \mbox{ cm}

    Calcolo diagonale parallelepipedo dalle dimensioni

    Per determinare la misura della diagonale dalle dimensioni si deve calcolare la radice quadrata della somma dei quadrati delle tre dimensioni del parallelepipedo

    D=\sqrt{a^2+b^2+h^2}

    La relazione tra diagonale e dimensioni del parallelepipedo deriva dalla formula vista in precedenza

    D=\sqrt{d^2+h^2}

    in cui il quadrato della diagonale d del rettangolo di base è stato sostituito con la somma dei quadrati delle sue dimensioni.

    Esempio

    Il volume di un parallelepipedo rettangolo è di 36 metri cubi e il perimetro del rettangolo di base misura 10 metri. Calcolare la misura della diagonale del parallelepipedo sapendo che una dimensione del rettangolo di base è di 2 metri.

    Svolgimento: scriviamo i dati forniti dal testo del problema

    \\ V=36 \mbox{ m}^3 \\ \\ 2p=10 \mbox{ m} \\ \\ a = 2 \mbox{ m}

    Il perimetro di un rettangolo si ottiene moltiplicando per 2 la somma delle dimensioni

    2p = 2(a+b)

    Calcoliamo la misura della dimensione b invertendo la formula del perimetro in suo favore

    b=\frac{2p}{2}-a = \frac{10 \mbox{ m}}{2}-2 \mbox{ m} = 5 \mbox{ m} - 2 \mbox{ m} = 3 \mbox{ m}

    Dalla formula per il calcolo del volume di un parallelepipedo possiamo ricavare la misura dell'altezza

    \\ V=a \cdot b \cdot h \\ \\ h = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{36 \mbox{ m}^3}{(2 \mbox{ m}) \cdot (3 \mbox{ m})}=\frac{36 \mbox{ m}^3}{6 \mbox{ m}^2} = 6 \mbox{ m}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare la lunghezza della diagonale

    \\ D=\sqrt{a^2+b^2+h^2}=\sqrt{(2 \mbox{ m})^2 + (3 \mbox{ m})^2 + (6 \mbox{ m})^2} = \\ \\ = \sqrt{4 \mbox{ m}^2 + 9 \mbox{ m}^2 + 36 \mbox{ m}^2} = \sqrt{49 \mbox{ m}^2} = 7 \mbox{ m}

    ***

    È tutto! Per altri esercizi svolti sul parallelepipedo - click!

    Risposta di Galois
 
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