Soluzioni
  • Si dice rapporto di similitudine il numero ottenuto dal rapporto delle misure di due lati omologhi di due poligoni simili. Tale rapporto è costante, ossia è sempre lo stesso quale che sia la coppia di lati omologhi considerata.

    In altri termini, se P e P' sono due poligoni simili, allora il rapporto tra la misura di un lato qualsiasi di P e la misura del lato omologo di P' è costante, e prende il nome di rapporto di similitudine.

     

    Rapporto di similitudine

    \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = \mbox{ costante}

     

    La nozione di rapporto di similitudine si può estendere a due qualsiasi figure geometriche simili che non siano necessariamente poligoni, e si definisce come il rapporto tra le misure di due elementi lineari corrispondenti.

    Ad esempio il rapporto di similitudine tra due circonferenze simili è dato dal rapporto tra le misure dei loro raggi, dei loro diametri, o di due corde aventi per estremi punti omologhi.

     

    Rapporto di similitudine tra figure

    \frac{r}{r'} = \frac{d}{d'} = \frac{AB}{A'B'} = \mbox{ costante}

     

    Proprietà del rapporto di similitudine

    1) Indicando con k il rapporto di similitudine tra due poligoni simili P e P', k è sempre maggiore di zero. In particolare:

    - se 0<k<1 allora ogni lato di P è maggiore del corrispondente lato di P', che risulterà quindi essere una riduzione in scala del poligono P;

    - se k=1 allora i lati omologhi dei due poligoni sono congruenti, e quindi P e P' sono poligoni congruenti;

    - se k>1 allora ogni lato di P è minore del lato omologo di P', per cui P' sarà un ingrandimento in scala del poligono P.

    2) Se indichiamo con k il rapporto di similitudine tra due poligoni, con 2p e (2p)' i loro perimetri e con A e A' le loro aree, allora:

    - Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è uguale al rapporto di similitudine

    \frac{2p}{(2p)'} = k

    - Il rapporto delle aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine

    \frac{A}{A'} = k^2

    Rapporto di similitudine nei problemi di Geometria

    Il rapporto di similitudine compare spesso nei problemi di Geometria. Ad esempio, dati due poligoni simili, può capitare di dover risolvere un poligono conoscendo gli elementi dell'altro poligono e il loro rapporto di similitudine.

    Esempio

    Il rapporto di similitudine di due quadrati simili è pari a 3 ed il primo è un ingrandimento in scala del secondo. Calcolare la misura del lato del secondo quadrato, la sua area e il suo perimetro sapendo che il lato del primo quadrato misura 21 cm.

    Svolgimento: indichiamo con L e L' le lunghezze dei lati dei due quadrati.

    Dalla definizione di rapporto di similitudine segue che

    \frac{L}{L'}=3

    Conoscendo la misura di L

    L=21 \mbox{ cm}

    possiamo invertire la precedente relazione così da ricavare la misura di L'

    \\ \frac{L}{L'} = 3 \ \ \to\ \ L'=\frac{L}{3} \\ \\ L' = \frac{21 \mbox{ cm}}{3} = 7 \mbox{ cm}

    per poi calcolare perimetro e area del secondo quadrato

    \\ A' = (L')^2 = (7 \mbox{ cm})^2 = 49 \mbox{ cm}^2 \\ \\ (2p)' = 4 \cdot L' = 4 \cdot (7 \mbox{ cm}) = 28 \mbox{ cm}

    ***

    Concludiamo in bellezza lasciandovi un paio di spunti d'approfondimento:

    - cos'è una similitudine;

    - criteri di similitudine tra triangoli.

    Risposta di Galois
 
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