Soluzioni
  • Con area del parallelepipedo si intende l'area della superficie totale, data dalla somma delle aree delle sei facce del parallelepipedo. Per calcolare l'area della superficie totale di un parallelepipedo qualsiasi si deve sommare l'area della superficie laterale al doppio dell'area di base.

     

    Area parallelepipedo

    Area parallelepipedo = Slat + 2Sb

     

    Chiarito cos'è e come si calcola l'area di un parallelepipedo qualsiasi, concentriamo ora la nostra attenzione sul parallelepipedo rettangolo, perché è l'unico tipo di parallelepipedo che si incontra nei problemi e negli esercizi di Geometria Solida delle scuole medie e delle scuole superiori.

    Anzitutto, ricordiamo che il parallelepipedo rettangolo è un prisma retto che ha come basi due rettangoli congruenti e come facce laterali quattro rettangoli, di cui quelli opposti sono congruenti tra loro.

     

    Area-parallelepipedo-rettangolo

     

    Formule per l'area del parallelepipedo rettangolo

    Nella seguente tabella abbiamo elencato tutte le formule per l'area del parallelepipedo rettangolo, cioè le formule per l'area della superficie totale S_{tot}. Per completezza abbiamo riportato anche le formule per l'area della superficie laterale S_{lat} e per l'area della superficie di base S_b.

    I simboli a e b indicano le due dimensioni del rettangolo di base, 2p il suo perimetro e h è l'altezza del parallelepipedo.

     

    Area superficie totale parallelepipedo con area di base e area della superficie laterale

    S_{tot} = S_{lat}+2S_{b}

    Area superficie totale parallelepipedo rettangolo con dimensioni

    S_{tot} = 2(ab+ah+bh)

    Area superficie laterale parallelepipedo con area di base e area della superficie totale

    S_{lat}=S_{tot}-2S_{b}

    Area superficie laterale parallelepipedo rettangolo con dimensioni

    S_{lat} = 2p \times h = 2(a+b)\cdot h

    Area di base parallelepipedo con area della superficie totale e area della superficie laterale

    S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Area di base parallelepipedo rettangolo con dimensioni

    S_b=a \cdot b

     

    Se siete alla ricerca di un elenco con tutte le formule del parallelepipedo rettangolo, comprese le formule inverse dell'area, potete consultare il formulario del link.

    Esercizi svolti sull'area parallelepipedo

    Spieghiamo ora da dove derivano le formule appena elencate, mostrando di volta in volta un esempio di applicazione.

    Calcolo area superficie di base parallelepipedo

    Per ottenere l'area di base di un parallelepipedo si deve dividere per 2 la differenza tra l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale

    S_{b}=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

    Nel parallelepipedo rettangolo la base è, per l'appunto, un rettangolo, la cui area si può calcolare moltiplicando le misure delle sue dimensioni.

    S_b = a \cdot b

    Esempio

    Calcolare l'area di base di un parallelepipedo rettangolo di cui è noto che una dimensione misura 3 cm e l'altra è il suo triplo.

    Indicando con a la dimensione nota e con b la dimensione incognita, sappiamo che

    a= 3 \mbox{ cm} \\ \\ b = 3 \cdot a = 3 \cdot (3 \mbox{ cm}) = 9 \mbox{ cm}

    Possiamo ora calcolare l'area del rettangolo di base

    S_b = a \cdot b = (3 \mbox{ cm}) \cdot (9 \mbox{ cm}) = 27 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area superficie laterale parallelepipedo

    In un parallelepipedo qualsiasi l'area della superficie laterale si calcola sottraendo il doppio dell'area di base all'area della superficie totale

    S_{lat} = S_{tot} - 2S_{b}

    Se il parallelepipedo è rettangolo possiamo invece usare la formula che segue, con cui si può determinare l'area della superficie laterale moltiplicando la misura dell'altezza del parallelepipedo per il perimetro del rettangolo di base

    S_{lat} = 2p \cdot h = 2(a+b) \cdot h

    Esempio

    L'altezza di un parallelepipedo rettangolo è di 2,5 metri e le dimensioni del rettangolo di base misurano 5 metri e 7 metri. Calcolare l'area della superficie laterale.

    Scriviamo i dati a nostra disposizione

    \\ h = 2,5 \mbox{ m} \\ \\ a = 5 \mbox{ m} \\ \\ b = 7 \mbox{ m}

    Per determinare l'area della superficie laterale non dobbiamo far altro che applicare la relativa formula

    \\ S_{lat} = 2(a+b) \cdot h = 2 \cdot (5 \mbox{ m} + 7 \mbox{ m}) \cdot (2,5 \mbox{ m}) = \\ \\ = 2 \cdot (12 \mbox{ m}) \cdot (2,5 \mbox{ m}) = (24 \mbox{ m}) \cdot (2,5 \mbox{ m}) = 60 \mbox{ m}^2

    Calcolo area superficie totale parallelepipedo

    L'area della superficie totale di un parallelepipedo è data dalla somma tra l'area della superficie laterale e il doppio dell'area di base

    S_{tot} = S_{lat}+2S_b

    Come abbiamo già osservato, nel parallelepipedo rettangolo:

    - l'area della superficie laterale si calcola moltiplicando la misura del perimetro di base per la lunghezza dell'altezza del parallelepipedo

    S_{lat} = 2p \cdot h = 2(a+b) \cdot h

    - l'area di base è data dal prodotto delle dimensioni del rettangolo di base

    S_b = a \cdot b

    Sostituendo nella formula generale, si ottiene la formula con cui è possibile calcolare l'area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo essendo note le misure delle tre dimensioni

    \\ S_{tot} = S_{lat} + 2S_b = \\ \\ = 2p \cdot h + 2(a \cdot b) = \\ \\ = 2(a+b) \cdot h + 2(a \cdot b) = \\ \\ = 2ah + 2bh + 2ab = \\ \\ = 2 (ah+bh+ab)

    In definitiva:

    S_{tot} = 2 (ah+bh+ab)

    Esempio

    Calcolare l'area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo sapendo che le dimensioni del rettangolo di base misurano 4 dm e 6 dm e che l'altezza del parallelepipedo è di 8,5 dm.

    Siano

    \\ a = 4 \mbox{ dm} \\ \\ b = 6 \mbox{ dm} \\ \\ h = 8,5 \mbox{ dm}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare l'area della superficie totale

    \\ S_{tot} = 2 (ah+bh+ab) = \\ \\ = 2 \cdot [(4 \mbox{ dm}) \cdot (8,5 \mbox{ dm}) + (6 \mbox{ dm}) \cdot (8,5 \mbox{ dm}) + (4 \mbox{ dm}) \cdot (6 \mbox{ dm})] = \\ \\ 2 \cdot (34 \mbox{ dm}^2 + 51 \mbox{ dm}^2 + 24 \mbox{ dm}^2) = 2 \cdot (109 \mbox{ dm}^2) = 218 \mbox{ dm}^2

    Calcolo area parallelepipedo con il volume

    Il volume di un parallelepipedo si calcola moltiplicando l'area di base per l'altezza

    V=S_{b} \cdot h

    Nel caso del parallelepipedo rettangolo la precedente formula può essere riscritta nel modo seguente

    V=a \cdot b \cdot h

    Alla luce di ciò, se è noto il volume e dobbiamo calcolare l'area della superficie totale, ci servono le misure di due delle tre dimensioni. In tal modo possiamo ricavare la lunghezza della dimensione incognita invertendo opportunamente la formula del volume.

    Esempio

    Il volume di un parallelepipedo rettangolo è di 31,5 metri cubi e la sua altezza misura 7 metri. Determinare l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale sapendo che l'altezza del rettangolo di base è di 1,5 metri.

    Dalla formula per il calcolo del volume

    V=a \cdot b \cdot h

    possiamo ricavare la misura della base del rettangolo di base

    a=\frac{V}{b \cdot h} = \frac{31,5 \mbox{ m}^3}{(1,5 \mbox{ m}) \cdot (7 \mbox{ m})} = \frac{31,5 \mbox{ m}^2}{10,5 \mbox{ m}^2} = 3 \mbox{ m}

    A questo punto si possono calcolare l'area della superficie laterale e l'area della superficie totale

    \\ S_{lat} = 2(a+b)\cdot h = 2 \cdot (3 \mbox{ m} + 1,5 \mbox{ m}) \cdot (7 \mbox{ m}) = \\ \\ = 2 \cdot (4,5 \mbox{ m}) \cdot (7 \mbox{ m}) = (9 \mbox{ m}) \cdot (7 \mbox{ m}) = 63 \mbox{ m}^2 \\ \\ \\ S_{tot} = 2 (ah+bh+ab) = \\ \\ = 2 \cdot [(3 \mbox{ m}) \cdot (7 \mbox{ m}) + (1,5 \mbox{ m}) \cdot (7 \mbox{ m}) + (3 \mbox{ m}) \cdot (1,5 \mbox{ m})] = \\ \\ 2 \cdot (21 \mbox{ m}^2 + 10,5 \mbox{ m}^2 + 4,5 \mbox{ m}^2) = 2 \cdot (36 \mbox{ m}^2) = 72 \mbox{ m}^2

    In alternativa, per trovare l'area della superficie totale avremmo potuto calcolare l'area di base

    S_b=a \cdot b = (3 \mbox{ m}) \cdot (1,5 \mbox{ m}) = 4,5 \mbox{ m}^2

    per poi sommare l'area della superficie laterale al doppio dell'area di base

    S_{tot} = S_{lat} + 2S_b = 63 \mbox{ m}^2 + 2 \cdot (4,5 \mbox{ m}^2) = 63 \mbox{ m}^2 + 9 \mbox{ m}^2 = 72 \mbox{ m}^2

    ***

    Non c'è altro da aggiungere, se non rimandarvi alla nostra scheda di esercizi sul parallelepipedo rettangolo, dove troverete molti altri problemi svolti. ;)

    Risposta di Galois
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