Soluzioni
  • Si dice raggio di una sfera un qualsiasi segmento che unisce il centro della sfera con un punto qualsiasi della superficie sferica. La misura del raggio può essere calcolata dal volume e dall'area della superficie totale, ma anche da area e perimetro del semicerchio generatore.

     

    Raggio sfera

    Raggio r della sfera

     

    Formule per il raggio della sfera

    Prima di riportare le formule per la lunghezza del raggio, specifichiamo il significato dei simboli: r è il raggio, V il volume, S_{tot} l'area della superficie totale, \pi la costante Pi Greco. Inoltre, A e 2p indicano l'area e il perimetro del semicerchio generatore, cioè del semicerchio che genera la sfera per rotazione attorno al proprio diametro.

     

    Raggio della sfera con volume

    r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

    Raggio della sfera con area della superficie totale

    r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4\pi}}

    Raggio della sfera con area del semicerchio generatore

    r=\sqrt{\frac{2A}{\pi}}

    Raggio della sfera con perimetro del semicerchio generatore

    r=\frac{2p}{2+\pi}

     

    La costante Pi Greco è un numero irrazionale, il cui valore è un numero decimale non periodico con infinite cifre decimali. Negli esercizi si è quindi soliti sostituirla con il valore approssimato \pi \simeq 3,14.

    Se siete alla ricerca di una tabella con tutte le formule sulla sfera, vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sul raggio della sfera

    Passiamo in rassegna le varie formule e vediamo come si risolvono i problemi sul calcolo del raggio di una sfera, risolvendo un esercizio per ogni tipologia.

    Calcolo raggio sfera con il volume

    Per determinare il raggio di una sfera dal volume si deve estrarre la radice cubica del rapporto tra il triplo del volume e 4 \pi

    r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

    Questa formula si ottiene invertendo la formula per il calcolo del volume della sfera in favore del raggio.

    Esempio

    Calcolare la misura del raggio di una sfera il cui volume è di 113,04 metri cubi.

    r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} \simeq \sqrt[3]{\frac{3 \times (113,04 \mbox{ m}^3)}{4 \times 3,14}} \simeq \sqrt[3]{\frac{339,12 \mbox{ m}^3}{12,56}} \simeq \sqrt[3]{27 \mbox{ m}^3} \simeq 3 \mbox{ m}

    Calcolo raggio sfera con l'area della superficie totale

    L'area della sfera si calcola moltiplicando il quadrato della misura del raggio per 4 \pi

    S_{tot} = 4\pi r^2

    Invertendo la precedente relazione in favore del raggio si ottiene la formula per il raggio nota l'area

    r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4\pi}}

    Si deve cioè estrarre la radice quadrata del rapporto tra l'area della superficie totale e 4 \pi.

    Esempio

    L'area della superficie totale di una sfera è di 28,26 metri quadrati. Quanto misura il suo raggio?

    r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4\pi}} \simeq \frac{28,26 \mbox{ m}^2}{4 \times 3,14} \simeq \frac{28,26 \mbox{ m}^2}{12,56} \simeq \sqrt{2,25 \mbox{ m}^2} \simeq 1,5 \mbox{ m}

    Calcolo raggio sfera con l'area del semicerchio generatore

    L'area di un semicerchio si ottiene dividendo per 2 il prodotto tra Pi Greco e il quadrato del raggio

    A=\frac{\pi r^2}{2}

    Dalla precedente formula possiamo ricavare la misura del raggio del semicerchio, che è congruente al raggio della sfera.

    r=\sqrt{\frac{2A}{\pi}}

    Esempio

    Una sfera è stata ottenuta dalla rotazione attorno al proprio diametro di un semicerchio avente un'area di 25,12 centimetri quadrati. Calcolare la misura del raggio.

    r=\sqrt{\frac{2A}{\pi}} \simeq \sqrt{\frac{2 \times (25,12 \mbox{ cm}^2)}{3,14}} \simeq \sqrt{\frac{50,24 \mbox{ cm}^2}{3,14}} \simeq \sqrt{16 \mbox{ cm}^2} = 4 \mbox{ cm}

    Calcolo raggio sfera con il perimetro del semicerchio generatore

    Per ricavare la misura del raggio dal perimetro del semicerchio generatore si deve dividere il perimetro per 2+\pi

    r=\frac{2p}{2+\pi}

    Il perimetro di un semicerchio, infatti, è dato dalla somma tra il doppio del raggio e la lunghezza della semicirconferenza che delimita il semicerchio

    2p = 2r + \pi r \ \to \ 2p=r(2+\pi)

    Invertendo l'uguaglianza e dividendo ambo i membri per 2+\pi si ricava la precedente formula.

    Esempio

    Calcolare la misura del raggio di una sfera ottenuta dalla rotazione di un semicerchio il cui perimetro è di 35,98 centimetri.

    r=\frac{2p}{2+\pi} \simeq \frac{35,98 \mbox{ cm}}{2+3,14} \simeq \frac{35,98 \mbox{ cm}}{5,14} \simeq 7 \mbox{ cm}

    ***

    Se vi occorrono altri esercizi svolti vi consigliamo di usare la nostra barra di ricerca interna. ;)

    Raggio della sfera in Geometria Analitica

    Nello spazio euclideo, fissato un punto C e un segmento di lunghezza r, si definisce sfera l'insieme dei punti dello spazio la cui distanza dal punto C è pari a r.

    Ciascuna sfera è individuata da un'equazione che si presenta nella forma

    x^2+y^2+z^2+\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0

    Per determinare la misura del raggio dall'equazione della sfera si usa la formula

    r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4} + \frac{\beta^2}{4} + \frac{\gamma^2}{4} - \delta}

    Per vedere da dove deriva e per leggere qualche esempio di applicazione, potete consultare la nostra lezione sull'equazione della sfera.

    Risposta di Galois
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