Soluzioni
  • La superficie della sfera (o superficie sferica) è l'insieme dei punti equidistanti dal centro della sfera e con distanza pari al suo raggio; l'area della superficie sferica si calcola moltiplicando per 4π il quadrato della misura del raggio, ossia come S=4πr2.

     

    Superficie sfera

    Area superficie sfera = 4πr2.

     

    Formula per la superficie della sfera

    Se indichiamo con S l'area della superficie della sfera, con r la misura del raggio e con π la costante Pi Greco, la formula per l'area della superficie sferica è:

    S = 4 π r^2

    La costante Pi Greco è un numero irrazionale non periodico, ossia un numero con infinite cifre decimali. Quando si risolvono i problemi si può quindi scegliere di lasciarla indicata con il suo simbolo (π) oppure sostituirla con il valore approssimato π ≃ 3,14.

    Per una tabella di riepilogo con tutte le formule della sfera, incluse le formule inverse dell'area della superficie sferica, puoi consultare il formulario del link.

    Esercizi svolti sulla superficie della sfera

    Passiamo ora ad alcuni problemi risolti sul calcolo della superficie della sfera, in cui spieghiamo il metodo risolutivo da adottare a seconda delle informazioni a disposizione.

    Calcolo superficie sfera con il raggio

    Se si conosce il raggio della sfera, per determinare l'area della superficie totale si deve moltiplicare il quadrato della misura del raggio per 4 π

    S = 4 π r^2

    Esempio

    Il raggio di una sfera è di 6,5 cm. Calcolare l'area della superficie totale.

     S = 4 π r^2 = 4 π×(6,5 cm)^2 = 4π×(42,25 cm^2) = 169π cm^2 ≃ ; ≃ (3,14×169) cm^2 = 530,66 cm^2

    Calcolo superficie sfera con il volume

    Il volume della sfera si calcola moltiplicando il cubo del raggio per (4)/(3)π.

    V = (4)/(3)π r^3

    Invertendo la precedente relazione in favore di r si può determinare la misura del raggio come radice cubica del rapporto tra il triplo del volume e 4 π

    r = [3]√((3V)/(4 π))

    Una volta noto il raggio sappiamo possiamo determinare l'area della superficie totale

    S = 4 π r^2

    Esempio

    Calcolare l'area della superficie totale di una sfera il cui volume è di 288π metri cubi.

    Scriviamo la formula del volume della sfera, da cui possiamo ricavare la misura del raggio

     V = (4)/(3)π r^3 ; r = [3]√((3V)/(4 π)) = [3]√((3×288π m^3)/(4π)) = [3]√((864π m^3)/(4π)) = [3]√(216 m^3) ≃ 6 m

    Procediamo al calcolo dell'area della superficie totale

     S = 4 π r^2 ≃ 4 π×(6 m)^2 = 4π×(36 m^2) = 144π m^2 ≃ ; ≃ (3,14×144) m^2 = 452,16 m^2

    Calcolo superficie sfera con area del semicerchio generatore

    Dato un qualsiasi semicerchio, dalla sua rotazione attorno al proprio diametro si ottiene una sfera il cui raggio coincide con il raggio del semicerchio.

    Tale semicerchio è detto semicerchio generatore, e l'area della superficie totale della sfera si può ottenere moltiplicando per 8 l'area A del semicerchio generatore

    S = 8A

    Esempio

    Determinare l'area della superficie totale di una sfera ottenuta dalla rotazione di un semicerchio avente un'area di 39,25 centimetri quadrati.

    S = 8A = 8×(39,25 cm^2) = 314 cm^2

    In alternativa, per risolvere il problema avremmo potuto procedere nel modo seguente: dalla formula per l'area del semicerchio

    A = (π r^2)/(2)

    si può trovare la misura del raggio

     r = √((2A)/(π)) ≃ √((2×(39,25 cm^2))/(3,14)) = √((78,5 cm^2)/(3,14)) ≃ √(25 cm^2) = 5 cm

    per poi calcolare l'area della superficie totale della sfera con la relativa formula

     S = 4 π r^2 ≃ 4 π×(5 cm)^2 = 4π×(25 cm^2) = 100π cm^2 ≃ ; ≃ (3,14×100) cm^2 = 314 cm^2

    Calcolo superficie sfera con perimetro del semicerchio generatore

    Il perimetro di un semicerchio è dato dalla somma tra la lunghezza della semicirconferenza e il doppio del raggio

    2p = π r+2r = r(π+2)

    Dividendo il perimetro del semicerchio per (π+2) si può determinare la misura del raggio del semicerchio

    r = (2p)/(π+2)

    A questo punto è immediato calcolare l'area della superficie totale della sfera

    S = 4π r^2

    Esempio

    Il perimetro del semicerchio generatore di una sfera è di 20,56 decimetri. Determinare l'area della superficie sferica.

    Calcoliamo la misura del raggio invertendo la formula del perimetro del semicerchio generatore, per poi trovare l'area della superficie totale della sfera

     2p = π r+2r = r(π+2) ; r = (2p)/(π+2) ≃ (20,56 dm)/(3,14+2) = (20,56 dm)/(5,14) = 4 dm ; S = 4 π r^2 ≃ 4 π×(4 dm)^2 = 4π×(16 dm^2) = 64π dm^2 ≃ ; ≃ (3,14×64) dm^2 = 200,96 dm^2

    ***

    È tutto! Con la barra di ricerca interna puoi trovare altri esercizi svolti con cui continuare ad allenarti. ;)

    Risposta di Galois
 
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