Soluzioni
  • Il logaritmo in base 10 di un numero b maggiore di zero, che da qui in poi indicheremo con log10(b), è quel numero c a cui si deve elevare 10 per ottenere b, in accordo con la definizione di logaritmo.

    \log_{10}(b) = c \iff 10^c=b, \ \mbox{ con } b>0

    Qualora l'argomento del logaritmo fosse zero oppure un numero negativo, allora il logaritmo in base 10 non sarebbe definito.

    Il modo più corretto per indicare il logaritmo in base 10 è log10, ossia specificando la base come pedice. Alcuni libri di testo usano il simbolo Log (con la L maiuscola), mentre la maggior parte delle calcolatrici adoperano il simbolo log per il logaritmo in base 10 e il simbolo ln per il logaritmo naturale.

    Dal canto nostro, onde evitare di far confusione, useremo qui ed ora la notazione log10.

    Come si calcola il logaritmo in base 10

    Per calcolare il logaritmo in base 10 di un numero b > 0 si può sempre e comunque usare una calcolatrice scientifica; tuttavia, nei casi in cui b si può scrivere come potenza di 10, possiamo calcolarlo con la definizione di logaritmo.

    Analizziamo le due eventualità separatamente.

    Logaritmo in base 10 senza calcolatrice

    Per determinare il valore del logaritmo in base 10 senza calcolatrice si deve trovare quel numero c a cui elevare 10 (la base) per ottenere b (l'argomento).

    In altri termini bisogna risolvere l'equazione esponenziale

    10^c=b

    nell'incognita c.

    Per calcolarne la soluzione si può procedere a mano solo se b si può esprimere come potenza con base 10. In caso contrario dobbiamo necessariamente fare uso della calcolatrice.

    Esempi

    1) Calcolare il logaritmo in base 10 di 100.

    Il valore di \log_{10}(100) è quel numero c tale che

    10^c=100

    Poiché 100 è una potenza di 10

    100=10^2

    possiamo riscrivere la precedente uguaglianza come

    10^c=10^2

    che è verificata per

    c=2

    In definitiva

    \log_{10}(100)=2

    2) Quanto vale \log_{10}\left(\frac{1}{1000}\right) ?

    La scomposizione in fattori primi del numero 1000 è

    1000=10^3

    Per le proprietà delle potenze

    \frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3} = \left(\frac{1}{10}\right)^3 = 10^{-3}

    Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di potenza con esponente negativo.

    Di conseguenza il numero c a cui elevare 10 per ottenere \frac{1}{1000} è -3, infatti

    \\ \log_{10}\left(\frac{1}{1000}\right) = c \\ \\ \\ 10^c=\frac{1}{1000} \\ \\ \\ 10^c=10^{-3} \\ \\ c=-3

    In conclusione

    \log_{10}\left(\frac{1}{1000}\right)=-3

    3) Determinare il valore di \log_{10}(7).

    Per calcolare il valore del logaritmo in base 10 di 7 dovremmo trovare un numero c tale che

    10^c=7

    Il numero 7 non è in alcun modo esprimibile come potenza di 10, quindi non possiamo procedere a mano.

    Questo esempio mette in evidenza quanto scritto in precedenza: in tutti i casi in cui l'argomento del logaritmo non può essere ricondotto a una potenza di 10 siamo costretti a usare la calcolatrice.

    Logaritmo in base 10 con la calcolatrice

    Nelle calcolatrici scientifiche c'è un tasto con la dicitura log con cui si può calcolare il logaritmo in base 10 del numero inserito come input, mentre il tasto ln permette di calcolare il logaritmo naturale, cioè il logaritmo in base e (numero di Nepero).

    Anche se è raro che accada, se la calcolatrice avesse il tasto ln ma non il tasto log si potrebbe calcolare ugualmente il logaritmo in base 10 con la formula del cambiamento di base, che permette di scrivere il logaritmo in base 10 come rapporto tra due logaritmi naturali:

    \log_{10}(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(10)}

    In altri termini il logaritmo in base 10 di un numero b>0 si può calcolare dividendo il logaritmo naturale di b per il logaritmo naturale di 10.

    Facciamo un esempio e calcoliamo il logaritmo lasciato in sospeso, ossia il logaritmo in base 10 di 7.

    Usando direttamente il tasto log, sulla calcolatrice appare il seguente numero

    \log_{10}(7) \simeq 0,84509804

    e si giunge allo stesso risultato con la formula del cambiamento di base

    \log_{10}(7)=\frac{\ln(7)}{\ln(10)} \simeq 0,84509804

    A proposito: se non hai una calcolatrice a portata di mano → calcolatrice logaritmi ;)

    Funzione logaritmica in base 10: y=log10(x)

    Vediamo le principali proprietà della funzione logaritmica in base 10, ossia della funzione

    y=\log_{10}(x)

    - il suo dominio è l'insieme \mathbb{R}^+=(0,+\infty);

    - è una funzione illimitata, sia superiormente che inferiormente, che ha come immagine l'insieme \mathbb{R};

    - è una funzione crescente su tutto il dominio;

    - interseca l'asse delle ascisse nel punto (1,0), mentre l'asse delle ordinate è un suo asintoto verticale destro;

    - è una funzione concava;

    - è continua e derivabile su tutto il dominio;

    - è una funzione biunivoca e la sua funzione inversa è l'esponenziale f(x)=10^x.

    Ecco infine il grafico della funzione logaritmica in base 10:

     

    Logaritmo in base 10

    Grafico della funzione logaritmica in base 10.

     

    Ci fermiamo qui. Per informazioni ancor più precise e dettagliate sulla funzione logaritmica con base maggiore di 1, ti rimandiamo alla pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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