Soluzioni
  • Il modo più corretto per indicare il logaritmo in base 10 è log10, tuttavia alcuni libri di testo usano il simbolo Log (con la L maiuscola), mentre le calcolatrici adoperano il simbolo log per il logaritmo in base 10 e ln per il logaritmo naturale.

    Onde evitare di far confusione, nel prosieguo di questa pagina lo indicheremo con log10.

    Come si calcola il logaritmo in base 10

    Per definizione di logaritmo, il logaritmo in base 10 di un numero b>0 è quel numero c tale che 10^c=b. In formule:

    \log_{10}(b) = c \iff 10^c=b, \mbox{ con } b>0

    Se l'argomento b è 0 o un numero negativo, ossia se b \le 0, allora possiamo immediatamente concludere che il logaritmo non esiste.

    Stando alla definizione appena riportata, per determinare il valore del logaritmo in base 10 senza calcolatrice si deve individuare quel numero c a cui elevare 10 (la base) per ottenere b (l'argomento).

    Detto in altri termini, bisogna risolvere l'equazione esponenziale

    10^c=b

    nell'incognita c. Bisogna però tenere a mente che l'eventuale soluzione dell'equazione non può essere sempre calcolata a mano, e che in alcuni casi per calcolare il valore del logaritmo in base 10 di b bisogna necessariamente far uso della calcolatrice.

    Esempi

    1) Calcolare il logaritmo in base 10 di 100.

    Il valore di \log_{10}(100) è quel numero c tale per cui

    10^c=100

    Poiché

    100=10^2

    possiamo riscrivere la precedente uguaglianza come

    10^c=10^2

    che è verificata per

    c=2

    In definitiva

    \log_{10}(100)=2

    2) Quanto vale \log_{10}\left(\frac{1}{1000}\right) ?

    La scomposizione in fattori primi del numero 1000 è

    1000=10^3

    Per le proprietà delle potenze

    \frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3} = \left(\frac{1}{10}\right)^3

    che possiamo scrivere sotto forma di potenza di 10 usando la definizione di potenze con esponente negativo

    \frac{1}{1000} = \left(\frac{1}{10}\right)^3 = 10^{-3}

    Il numero c a cui elevare 10 per ottenere 1/1000 è quindi -3, infatti

    \log_{10}\left(\frac{1}{1000}\right) = c \iff 10^c=\frac{1}{1000} \iff 10^c=10^{-3} \iff c=-3

    In conlusione

    \log_{10}\left(\frac{1}{1000}\right)=-3

    3) Determinare il valore di \log_{10}(7).

    Per calcolare il valore del logaritmo in base 10 di 7 si dovrebbe trovare un numero c tale che

    10^c=7

    Il numero 7 non è in alcun modo esprimibile come una potenza di 10, quindi è impossibile procedere oltre.

    In questo e in tutti i casi in cui l'argomento del logaritmo non può essere ricondotto a una potenza di 10 dovremo necessariamente usare la calcolatrice.

    Logaritmo in base 10 con la calcolatrice

    Nelle calcolatrici scientifiche c'è un tasto con la dicitura \log con cui si può calcolare il logaritmo in base 10 del numero inserito come input, mentre il tasto \ln permette di calcolare il logaritmo naturale, cioè il logaritmo in base e (numero di Nepero).

    Anche se è raro che ciò accada, se la vostra calcolatrice dovesse avere il tasto \ln ma non il tasto \log potrete ugualmente calcolare il logaritmo in base 10 usando la formula del cambiamento di base

    \log_{10}(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(10)}

    In definitiva, il logaritmo in base 10 di un numero b>0 si può calcolare dividendo il logaritmo naturale di b per il logaritmo naturale di 10.

    ***

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    Risposta di Galois
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