Soluzioni
  • Per poter risolvere l'equazione esponenziale

    8+2^{x+1}=2^{2x}

    bisogna innanzitutto utilizzare le proprietà delle potenze, grazie alle quali ricaviamo:

    8+2\cdot 2^{x}=(2^{x})^2

    Con un po' di spirito di osservazione, dovrebbe essere chiaro qual è la strategia da seguire: per sostituzione. Poniamo y=2^x cosicché l'equazioni diventi

    8+2 y=y^2 \ \ \ \to \ \ \ y^2-2y-8=0

    Risolviamo l'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono:

    a=1\ \ \ , \ \ \ b=-2 \ \ \ , \ \ \ c=-8

    Osserviamo che il coefficiente di y è pari, ergo sarà più comodo sfruttare la formula del delta quarti per ricavare le soluzioni

    \\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=1+8=9 \\ \\ \\ y_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=1\pm \sqrt{9}= \\ \\ \\ =1\pm 3=\begin{cases}-2=y_1\\ \\ 4=y_2\end{cases}

    Troviamo come soluzioni dell'equazione di secondo grado

    y=-2 \ \ \ ,  \ \ \ y=4

    Chiaramente, non abbiamo ancora terminato! Dobbiamo infatti ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta. Poiché y=2^x allora le relazioni

    y=-2 \ \ \ ,  \ \ \ y=4

    si tramutano rispettivamente nelle equazioni esponenziali

    2^{x}=-2 \ \ \ , \ \ \ 2^{x}=4

    la prima delle quali è impossibile perché 2^{x} non può mai essere uguale a un numero negativo.

    La seconda è di facile risoluzione se si osserva che 4 è il quadrato di 2

    2^{x}=2^2

    Una volta uguagliati gli esponenti, concludiamo che la soluzione è

    x=2

    In definitiva

    8+2^{x+1}=2^{2x}

    è soddisfatta dall'unico valore x=2.

    Risposta di Ifrit
 
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