Soluzioni
  • Il logaritmo in base 2 di un numero b maggiore di zero si indica con log2(b) ed è quel numero c a cui bisogna elevare 2 per ottenere b. Nel caso in cui l'argomento del logaritmo fosse 0 o un numero negativo, allora il logaritmo in base 2 non sarebbe definito.

    log_2(b) = c ⇔ 2^c = b, con b > 0

    Per calcolare il logaritmo in base 2 di b si può usare la definizione di logaritmo solo se b si può scrivere come potenza di 2. In caso contrario, cioè se l'argomento del logaritmo non si può esprimere sotto forma di potenza 2, si deve necessariamente usare una calcolatrice.

    Logaritmo in base 2 senza calcolatrice

    Per determinare il valore del logaritmo in base 2 senza calcolatrice, ossia per trovare il valore di

    log_2(b) con b > 0

    si deve individuare quel numero c a cui elevare 2 (la base) per ottenere b (l'argomento), ossia si deve risolvere l'equazione esponenziale

    2^c = b

    nell'incognita c.

    Per calcolare l'eventuale soluzione si può procedere a mano solo se b può essere espresso come potenza di 2; se così non fosse dovremo affidarci alla calcolatrice.

    Esempi sul calcolo del logaritmo di 2 senza calcolatrice

    1) Calcolare il logaritmo in base 2 di 8.

    Per trovare il valore di log_2(8) dobbiamo individuare quel numero c a cui elevare la base per ottenere l'argomento

    log_2(8) = c ⇔ 2^c = 8

    8 è una potenza di 2, infatti

    8 = 2^3

    Quindi

    2^c = 2^3 ; c = 3

    e in definitiva

    log_2(8) = 3

    2) Quanto vale log_2((1)/(16)) ?

    Osserviamo che

    (1)/(16) = (1)/(2^4) = ((1)/(2))^4 = 2^(-4)

    Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di potenza con esponente negativo.

    Di conseguenza il numero c a cui elevare 2 per ottenere 1/16 è -4, infatti

    log_2((1)/(16)) = c ; 2^c = (1)/(16) ; 2^c = 2^(-4) ; c = -4

    3) Determinare il valore del logaritmo in base 2 di 3 (log_2(3)).

    Stando a quanto detto finora dovremmo individuare un numero c tale che

    2^c = 3

    Poiché 3 non si può scrivere come potenza di 2, è impossibile trovare il valore di c senza la calcolatrice.

    Logaritmo in base 2 con la calcolatrice

    Nella maggior parte delle calcolatrici scientifiche ci sono solo due tasti, indicati con le diciture ln e log, con cui si può calcolare rispettivamente il logaritmo naturale (in base e, numero di Nepero) e il logaritmo in base 10 del numero inserito come input.

    Possiamo però ricorrere a un piccolo stratagemma che consente di determinare il valore di log2 con la calcolatrice. Basta usare la formula del cambiamento di base e scrivere il logaritmo in base 2 come il rapporto tra due logaritmi naturali

    log_2(b) = (ln(b))/(ln(2))

    In sintesi possiamo calcolare il logaritmo in base 2 di un numero b > 0 dividendo il logaritmo naturale di b per il logaritmo naturale di 2.

    Facciamo un esempio e calcoliamo il logaritmo in base 2 di 3 lasciato in sospeso:

    log_2(3) = (ln(3))/(ln(2)) ≃ 1,58

    A proposito: Se non hai a portata di mano una calcolatrice puoi usare il nostro calcolatore di logaritmi. ;)

    Funzione logaritmica in base 2: y=log2(x)

    Vediamo le principali proprietà della funzione logaritmica in base 2, ossia della funzione

    y = log_2(x)

    • Ha come dominio (0,+∞).

    • È una funzione illimitata e la sua immagine è tutto R.

    • È una funzione strettamente crescente su tutto il dominio.

    • È concava, continua e derivabile su tutto il dominio.

    • Interseca l'asse delle ascisse nel punto (1,0), mentre l'asse delle ordinate è un asintoto verticale destro.

    Ecco infine il grafico della funzione logaritmica in base 2:

     

    Funzione logaritmo in base 2

    Grafico della funzione logaritmica in base 2.

     

    È tutto, ma se volessi fare un ripasso generale sulla funzione logaritmica con base maggiore di 1 - click!

    Risposta di Galois
 
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