Logaritmo in base 2

Come si indica e come si calcola il logaritmo in base 2? Potreste mostrarmi qualche esempio e spiegarmi come si determina il valore di un logaritmo in base 2 con e senza la calcolatrice?

In Superiori - Algebra - Domanda di FAQ

Soluzioni

  • Per calcolare il logaritmo in base 2 di un numero positivo e diverso da zero possiamo in alcuni casi ricorrere alla definizione di logaritmo, in altri dobbiamo necessariamente far uso della calcolatrice.

    In generale, se b è un numero positivo (b>0), il logaritmo in base 2 di b si indica con \log_2(b) ed è quel numero c tale che 2^c=b.

    In formule:

    \log_2(b) = c \iff 2^c=b, \mbox{ con } b>0

    Se l'argomento b del logaritmo fosse 0 o un numero negativo, allora il logaritmo non sarebbe definito.

    Come si calcola il logaritmo in base 2

    Per determinare il valore del logaritmo in base 2 senza calcolatrice, ossia per trovare il valore di

    \log_2(b), \ \mbox{ con } b>0

    si deve individuare quel numero c a cui elevare 2 (la base) per ottenere b (l'argomento), ossia si deve risolvere l'equazione esponenziale

    2^c=b

    nell'incognita c. Per calcolare l'eventuale soluzione potremo procedere a mano solo se b può essere espresso come potenza di 2; se così non fosse dovremo affidarci alla calcolatrice.

    Esempi

    1) Calcolare il logaritmo in base 2 di 8.

    Per trovare il valore di \log_2(8) dobbiamo individuare quel numero c a cui elevare la base per ottenere l'argomento

    \log_2(8)=c \iff 2^c=8

    8 è una potenza di 2, infatti

    8=2^3

    Quindi

    \log_2(8)=c \iff 2^c=8 \iff 2^c=2^3 \iff c=3

    In definita

    \log_2(8)=3

    2) Quanto vale \log_2\left(\frac{1}{16}\right) ?

    Osserviamo che

    \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 2^{-4}

    Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di potenza con esponente negativo.

    Di conseguenza il numero c a cui elevare 2 per ottenere 1/16 è -4, infatti

    \log_2\left(\frac{1}{16}\right) = c \iff 2^c=\frac{1}{16} \iff 2^c=2^{-4} \iff c=-4

    3) Determinare il valore di \log_2(5).

    Stando a quanto detto finora dovremmo individuare un numero c tale che

    2^c=5

    Concorderete con noi che è impossibile determinare il valore di c senza usare la calcolatrice.

    Logaritmo in base 2 con la calcolatrice

    Nella maggior parte delle calcolatrici scientifiche ci sono solo due tasti, indicati con la dicitura \ln e \log, con cui si può calcolare rispettivamente il logaritmo naturale (in base e) e il logaritmo in base 10 del numero inserito come input.

    Possiamo però ricorrere a un piccolo stratagemma che consente di determinare il valore di log2 con la calcolatrice. Usando la formula del cambiamento di base scriviamo il logaritmo in base 2 come il rapporto tra due logaritmi in base naturale

    \log_2(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(2)}

    In definitiva possiamo calcolare il logaritmo in base 2 di un numero b>0 dividendo il logaritmo naturale di b per il logaritmo naturale di 2.

    ***

    Se non avete a portata di mano una calcolatrice potete usare il nostro calcolatore di logaritmi - click!

    Risposta di Galois
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