Equazione esponenziale in base 4

Question

Riscontro diverse difficoltà nella risoluzione di un'equazione esponenziale con esponenziali in base 4. Nonostante abbia applicato tutte le proprietà che conosco, non sono riuscito a esprimere in forma normale l'equazione data, ecco perché chiedo il vostro intervento. Risolvere l'equazione esponenziale 3·4^(x)+(7)/(4)·4^(x) = 19√(2) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il nostro obiettivo consiste nel determinare le soluzioni dell'equazione esponenziale 3·4^(x)+(7)/(4)·4^(x) = 19√(2) Chiaramente dovremo prima di tutto svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in una forma più semplice. Esprimiamo i vari termini a denominatore comune (12·4^(x)+7·4^(x))/(4) = (19·4√(2))/(4) dopodiché moltiplichiamo a destra e a sinistra per 4 così da cancellare i denominatori 12·4^(x)+7·4^(x) = 19·4√(2) Sommiamo gli esponenziali simili al primo membro 19·4^(x) = 19·4√(2) e isoliamo 4^(x) dividendo per 19 a sinistra e a destra 4^(x) = 4√(2) Se osserviamo bene, con le giuste proprietà delle potenze possiamo esprimere sia il primo che il secondo membro come potenze di 2, infatti 4^x = (2^2)^x = 2^(2x) mentre ; 4√(2) = 2^(2)·2^((1)/(2)) = 2^(2+(1)/(2)) = 2^((5)/(2)) L'equazione 4^(x) = 4√(2) si riscrive quindi nella forma nota 2^(2x) = 2^((5)/(2)) A questo punto non ci resta che eguagliare gli esponenti 2x = (5)/(2) e ricavare l'incognita dividendo per 2 x = (5)/(4) L'insieme delle soluzioni associato all'equazione 3·4^(x)+(7)/(4)·4^(x) = 19√(2) è S = (5)/(4). Abbiamo finito.