Soluzioni
  • Il nostro obiettivo consiste nel determinare le soluzioni dell'equazione esponenziale

    3\cdot 4^{x}+\frac{7}{4}\cdot 4^{x}=19\sqrt{2}

    Chiaramente dovremo prima di tutto svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in una forma più semplice.

    Esprimiamo i vari termini a denominatore comune

    \frac{12\cdot 4^{x}+7\cdot 4^{x}}{4}=\frac{19\cdot 4\sqrt{2}}{4}

    dopodiché moltiplichiamo a destra e a sinistra per 4 così da cancellare i denominatori

    12\cdot 4^{x}+7\cdot 4^{x}=19\cdot 4\sqrt{2}

    Sommiamo gli esponenziali simili al primo membro

    19\cdot 4^{x}=19\cdot 4\sqrt{2}

    e isoliamo 4^{x} dividendo per 19 a sinistra e a destra

    4^{x}=4\sqrt{2}

    Se osserviamo bene, con le giuste proprietà delle potenze possiamo esprimere sia il primo che il secondo membro come potenze di 2, infatti

    4^x=(2^2)^x= 2^{2x}

    mentre

    \\ 4\sqrt{2}=2^{2}\cdot 2^{\frac{1}{2}}= \\ \\ =2^{2+\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{2}}

    L'equazione

    4^{x}=4\sqrt{2}

    si riscrive quindi nella forma nota

    2^{2x}=2^{\frac{5}{2}}

    A questo punto non ci resta che eguagliare gli esponenti

    2x=\frac{5}{2}

    e ricavare l'incognita dividendo per 2

    x=\frac{5}{4}

    L'insieme delle soluzioni associato all'equazione

    3\cdot 4^{x}+\frac{7}{4}\cdot 4^{x}=19\sqrt{2}

    è S=\left\{\frac{5}{4}\right\}.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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