Soluzioni
  • Un paradosso è una proposizione che esprime un risultato in apparente contrasto con l'esperienza comune. Il termine paradosso deriva infatti dal greco παράδοξος composto da: παρα che significa contro e δόξα il cui significato è opinione.

    In Matematica e in Fisica un paradosso è un enunciato dedotto da una dimostrazione rigorosa ma che esprime un risultato in contrasto con postulati, assiomi o teoremi ritenuti incondizionatamente validi.

    Nella maggior parte dei casi si giunge alla soluzione del paradosso notando degli errori nel processo dimostrativo che ha portato alla formulazione del paradosso.

    Esempi di paradossi

    Qui di seguito abbiamo riportato alcuni tra i più famosi paradossi con la relativa soluzione

    1) Paradosso dell'area scomparsa

    È un paradosso con una dimostrazione di tipo grafico in cui si ottengono due figure con area diversa ridisponendo in maniera differente le stesse forme geometriche.

     

    Paradosso

     

    Entrambe le figure sembrano due triangoli rettangoli formati con gli stessi elementi, eppure la loro area è diversa, infatti nella seconda figura compare un quadratino bianco non presente nella prima.

    Soluzione: siamo di fronte a un'illusione ottica che risulta evidente se con un righello si uniscono i due estremi di quella che sembrerebbe essere l'ipotenusa del triangolo rettangolo della prima figura e che, in realtà, è una linea spezzata.

     

    Soluzione del paradosso

     

    L'area del sottilissimo triangolo nero uguaglia l'area del quadratino bianco della seconda figura e quindi, effettivamente, le due figure hanno la stessa area.

    2) Paradosso dell'1=2.

    Sia x=1. Allora, evidentemente:

    1) x=x

    2) Eleviamo ambo i membri al quadrato

    x^2=x^2

    3) Sottraiamo da entrambi i membri la stessa quantità

    x^2-x^2=x^2-x^2

    4) A primo membro effettuiamo un raccoglimento totale del fattore x e a secondo membro applichiamo la regola di scomposizione della differenza di quadrati

    x(x-x) = (x-x)(x+x)

    5) Dividiamo tutti e due i membri per la stessa quantità

    \frac{x(x-x)}{x-x}=\frac{(x+x)(x-x)}{x-x}

    6) Semplifichiamo

    x=x+x

    Essendo x=1, dall'ultima uguaglianza segue che 1=1+1=2.

    Soluzione: nella dimostrazione c'è un errore nel passaggio 5) dove entrambi i membri della stessa equazione sono stati divisi per la quantità x-x, che è pari a zero. Come ben sappiamo, però, la divisione per zero non è definita.

    3) Paradosso dell'infinito.

    Sebbene i numeri pari siano solo una parte dei numeri naturali, i numeri pari sono tanti quanti sono i numeri naturali.

    Soluzione: si tratta di un'affermazione vera che sembra contrastare il senso comune secondo cui il tutto (i numeri naturali) non può essere uguale ad una sua parte (i numeri pari).

    Questo però è vero solo per gli insiemi finiti e non per gli insiemi infiniti, per cui si può costruire una corrispondenza biunivoca tra l'intero insieme e una sua parte.

    Paradossi logici (o antinomie)

    Oltre ai paradossi matematici sono molto famosi anche i paradossi logici, detti anche antinomie.

    Un'antinomia è una proposizione auto-contraddittoria, cioè una proposizione p si dice essere un paradosso logico (o antinomia) se è vera sia la proposizione p sia la sua negazione \overline{p}.

    Esempi di paradossi logici

    I più famosi esempi di paradossi logici sono: il paradosso del barbiere, il paradosso del mentitore e il paradosso della sentinella.

    1) Paradosso del barbiere.

    In un villaggio viveva un barbiere che aveva l'obbligo di radere tutti coloro e soltanto coloro che non si radevano da soli. Chi rade il barbiere?

    Se il barbiere si rade da solo allora viene contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli.

    Di contro, se il barbiere non si rade da solo è uno di quegli uomini che non si radono da sè e quindi è obbligato a radere quest'uomo, cioè è obbligato a radere se stesso.

    Ecco dunque il paradosso logico: il barbiere è obbligato sia a radersi che a non radersi.

    2) Paradosso del mentitore.

    Il cretese Epimenide afferma che tutti i cretesi sono mentitori. Epimenide dice la verità o mente?

    Se Epimenide dicesse la verità allora egli, essendo cretese, mentirebbe. Viceversa, se mentisse direbbe la verità.

    Eccoci quindi in presenza di un paradosso logico: con la stessa affermazione Epimenide mente e dice la verità.

    3) Paradosso della sentinella.

    Una sentinella posta a guardia di un castello chiede a tutti i visitatori: "Perché sei venuto?" Se il visitatore dice la verità viene lasciato passare, se dice una menzogna viene impiccato. Un giorno un visitatore risponde: "Vengo per essere impiccato". Cosa dovrà fare la sentinella?

    Se decide di non impiccarlo allora vuol dire che il visitatore ha detto la verità, e quindi deve essere impiccato; se, invece, la sentinella decide di impiccarlo allora vuol dire che il visitatore sta mentendo e quindi non dev'essere impiccato. Da qui il paradosso.

    ***

    Altri famosi esempi di paradossi sono:

    - i paradossi di Zenone;

    - il paradosso di Achille e la tartaruga;

    - il paradosso idrostatico;

    - il paradosso dei gemelli.

    Risposta di Galois
 
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