Soluzioni
  • Nella lingua italiana, divergere vuol dire essere in contrasto, cioè avere pareri discordanti od opinioni diverse. In matematica invece il termine divergere assume significati differenti a seconda del contesto in cui viene usato.

    Divergere in Geometria

    In Geometria il concetto di divergenza si introduce quando si studiano le semirette, e si dice che due semirette divergono quando hanno la stessa origine ma procedono in direzioni diverse. In caso contrario, cioè se le due semirette procedono nella stessa direzione, si dicono convergenti.

    I lati di un angolo giro o di un angolo nullo sono due esempi di semirette convergenti, mentre i lati di un angolo retto, acuto o ottuso sono esempi di semirette divergenti.

    Divergere in Analisi Matematica

    In Analisi Matematica la divergenza è un concetto che prende piede nello studio dei limiti e può fare riferimento:

    1) al comportamento di una funzione y=f(x), al tendere di x a un valore finito x_0 \in \mathbb{R} oppure a un valore infinito (\pm \infty).

    2) Al comportamento di una successione {(a_n)}_n per n \to +\infty.

    3) Al comportamento di una serie numerica \sum_{n=0}^{+\infty} a_n

    Analizziamo i tre casi uno alla volta.

    Divergenza di una funzione

    Per parlare di divergenza di una funzione y=f(x) dobbiamo necessariamente specificare il valore a cui tende x. In particolare, se:

    \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty

    si dice che la funzione diverge positivamente, se

    \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty

    si dirà che la funzione diverge negativamente.

    In entrambi i casi, il valore x_0 a cui tende x può essere un numero reale oppure +\infty o -\infty, e affinché i precedenti limiti abbiano significato la funzione deve essere definita in un intorno di x_0.

    Ad esempio, per x\to -\infty la funzione potenza di x con esponente dispari è divergente negativamente, mentre la funzione potenza di x con esponente pari diverge positivamente.

    Divergenza di un successione

    {(a_n)}_n è una successione divergente se il limite della successione vale +\infty o -\infty, ossia se

    \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty

    oppure

    \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty

    Per fissare le idee, la successione

    a_n = n^2

    è una successione divergente positivamente, in quanto il suo limite vale

    \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty

    mentre la successione

    a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n

    è una successione non divergente, infatti

    \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0

    Divergenza di una serie numerica

    Senza scendere troppo nel dettaglio, una serie numerica \sum_{n=0}^{+\infty} a_n è detta divergente se la successione delle somme parziali {(s_n)}_n diverge, cioè si verificano uno dei due seguenti casi

    \lim_{n \to +\infty} s_n = +\infty

    oppure

    \lim_{n \to +\infty} s_n = -\infty

    Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla nostra lezione sul carattere di una serie.

    Risposta di Galois
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