Divergere

Nella lingua italiana, divergere vuol dire essere in contrasto, cioè avere pareri discordanti od opinioni diverse. In matematica invece il termine divergere assume significati differenti a seconda del contesto in cui viene usato.

Divergere in Geometria

In Geometria il concetto di divergenza si introduce quando si studiano le semirette, e si dice che due semirette divergono quando hanno la stessa origine ma procedono in direzioni diverse. In caso contrario, cioè se le due semirette procedono nella stessa direzione, si dicono convergenti.

I lati di un angolo giro o di un angolo nullo sono due esempi di semirette convergenti, mentre i lati di un angolo retto, acuto o ottuso sono esempi di semirette divergenti.

Divergere in Analisi Matematica

In Analisi Matematica la divergenza è un concetto che prende piede nello studio dei limiti e può fare riferimento:

1) al comportamento di una funzione , al tendere di a un valore finito oppure a un valore infinito .

2) Al comportamento di una successione per .

3) Al comportamento di una serie numerica 

Analizziamo i tre casi uno alla volta.

Divergenza di una funzione

Per parlare di divergenza di una funzione dobbiamo necessariamente specificare il valore a cui tende . In particolare, se:

si dice che la funzione diverge positivamente, se

si dirà che la funzione diverge negativamente.

In entrambi i casi, il valore a cui tende può essere un numero reale oppure o , e affinché i precedenti limiti abbiano significato la funzione deve essere definita in un intorno di .

Ad esempio, per la funzione potenza di x con esponente dispari è divergente negativamente, mentre la funzione potenza di x con esponente pari diverge positivamente.

Divergenza di un successione

è una successione divergente se il limite della successione vale o , ossia se

oppure

Per fissare le idee, la successione

è una successione divergente positivamente, in quanto il suo limite vale

mentre la successione

è una successione non divergente, infatti

Divergenza di una serie numerica

Senza scendere troppo nel dettaglio, una serie numerica è detta divergente se la successione delle somme parziali diverge, cioè si verificano uno dei due seguenti casi

oppure

Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla nostra lezione sul carattere di una serie.