Soluzioni
  • Nella lingua italiana, divergere vuol dire essere in contrasto, cioè avere pareri discordanti od opinioni diverse. In matematica invece il termine divergere assume significati differenti a seconda del contesto in cui viene usato.

    Divergere in Geometria

    In Geometria il concetto di divergenza si introduce quando si studiano le semirette, e si dice che due semirette divergono quando hanno la stessa origine ma procedono in direzioni diverse. In caso contrario, cioè se le due semirette procedono nella stessa direzione, si dicono convergenti.

    I lati di un angolo giro o di un angolo nullo sono due esempi di semirette convergenti, mentre i lati di un angolo retto, acuto o ottuso sono esempi di semirette divergenti.

    Divergere in Analisi Matematica

    In Analisi Matematica la divergenza è un concetto che prende piede nello studio dei limiti e può fare riferimento:

    1) al comportamento di una funzione y = f(x), al tendere di x a un valore finito x_0 ∈ R oppure a un valore infinito (±∞).

    2) Al comportamento di una successione (a_n)_n per n → +∞.

    3) Al comportamento di una serie numerica Σ_(n = 0)^(+∞) a_n

    Analizziamo i tre casi uno alla volta.

    Divergenza di una funzione

    Per parlare di divergenza di una funzione y = f(x) dobbiamo necessariamente specificare il valore a cui tende x. In particolare, se:

    lim_(x → x_0) f(x) = +∞

    si dice che la funzione diverge positivamente, se

    lim_(x → x_0) f(x) = -∞

    si dirà che la funzione diverge negativamente.

    In entrambi i casi, il valore x_0 a cui tende x può essere un numero reale oppure +∞ o -∞, e affinché i precedenti limiti abbiano significato la funzione deve essere definita in un intorno di x_0.

    Ad esempio, per x → -∞ la funzione potenza di x con esponente dispari è divergente negativamente, mentre la funzione potenza di x con esponente pari diverge positivamente.

    Divergenza di un successione

    (a_n)_n è una successione divergente se il limite della successione vale +∞ o -∞, ossia se

    lim_(n → +∞) a_n = +∞

    oppure

    lim_(n → +∞) a_n = -∞

    Per fissare le idee, la successione

    a_n = n^2

    è una successione divergente positivamente, in quanto il suo limite vale

    lim_(n → +∞) n^2 = +∞

    mentre la successione

    a_n = ((1)/(2))^n

    è una successione non divergente, infatti

    lim_(n → +∞) ((1)/(2))^n = 0

    Divergenza di una serie numerica

    Senza scendere troppo nel dettaglio, una serie numerica Σ_(n = 0)^(+∞) a_n è detta divergente se la successione delle somme parziali (s_n)_n diverge, cioè si verificano uno dei due seguenti casi

    lim_(n → +∞) s_n = +∞

    oppure

    lim_(n → +∞) s_n = -∞

    Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla nostra lezione sul carattere di una serie.

    Risposta di Galois
 
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