Divergere

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
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Cosa significa divergere? Potreste spiegarmi il significato di divergere in matematica e dirmi quando si usa, mostrandomi qualche esempio?

Più precisamente vorrei sapere qual è il significato di divergere in geometria e in analisi matematica, e cosa vuol dire che una funzione, una successione o una serie sono divergenti.

Soluzione

Nella lingua italiana, divergere vuol dire essere in contrasto, cioè avere pareri discordanti od opinioni diverse. In matematica invece il termine divergere assume significati differenti a seconda del contesto in cui viene usato.

Divergere in Geometria

In Geometria il concetto di divergenza si introduce quando si studiano le semirette, e si dice che due semirette divergono quando hanno la stessa origine ma procedono in direzioni diverse. In caso contrario, cioè se le due semirette procedono nella stessa direzione, si dicono convergenti.

I lati di un angolo giro o di un angolo nullo sono due esempi di semirette convergenti, mentre i lati di un angolo retto, acuto o ottuso sono esempi di semirette divergenti.

Divergere in Analisi Matematica

In Analisi Matematica la divergenza è un concetto che prende piede nello studio dei limiti e può fare riferimento:

1) al comportamento di una funzione y = f(x), al tendere di x a un valore finito x_0 ∈ R oppure a un valore infinito (±∞).

2) Al comportamento di una successione (a_n)_n per n → +∞.

3) Al comportamento di una serie numerica Σ_(n = 0)^(+∞) a_n

Analizziamo i tre casi uno alla volta.

Divergenza di una funzione

Per parlare di divergenza di una funzione y = f(x) dobbiamo necessariamente specificare il valore a cui tende x. In particolare, se:

lim_(x → x_0) f(x) = +∞

si dice che la funzione diverge positivamente, se

lim_(x → x_0) f(x) = −∞

si dirà che la funzione diverge negativamente.

In entrambi i casi, il valore x_0 a cui tende x può essere un numero reale oppure +∞ o −∞, e affinché i precedenti limiti abbiano significato la funzione deve essere definita in un intorno di x_0.

Ad esempio, per x → −∞ la funzione potenza di x con esponente dispari è divergente negativamente, mentre la funzione potenza di x con esponente pari diverge positivamente.

Divergenza di un successione

(a_n)_n è una successione divergente se il limite della successione vale +∞ o −∞, ossia se

lim_(n → +∞) a_n = +∞

oppure

lim_(n → +∞) a_n = −∞

Per fissare le idee, la successione

a_n = n^2

è una successione divergente positivamente, in quanto il suo limite vale

lim_(n → +∞) n^2 = +∞

mentre la successione

a_n = ((1)/(2))^n

è una successione non divergente, infatti

lim_(n → +∞) ((1)/(2))^n = 0

Divergenza di una serie numerica

Senza scendere troppo nel dettaglio, una serie numerica Σ_(n = 0)^(+∞) a_n è detta divergente se la successione delle somme parziali (s_n)_n diverge, cioè si verificano uno dei due seguenti casi

lim_(n → +∞) s_n = +∞

oppure

lim_(n → +∞) s_n = −∞

Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla nostra lezione sul carattere di una serie.

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