Soluzioni
  • Gli angoli di un triangolo rettangolo sono due angoli acuti e un angolo retto; in particolare, l'angolo retto è l'angolo opposto al lato maggiore, che prende il nome di ipotenusa, i due angoli acuti sono i due angoli opposti ai cateti del triangolo rettangolo.

     

    Angoli triangolo rettangolo

    Angolo retto γ opposto all'ipotenusa i

    Angoli acuti α e β opposti ai cateti

     

    Formule per gli angoli del triangolo rettangolo

    Siano \alpha l'angolo opposto al cateto minore e \beta l'angolo opposto al cateto maggiore e \gamma l'angolo opposto all'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

    \gamma è un angolo retto, dunque la sua ampiezza è nota ed è pari a 90°

    \gamma=90^{\circ}

    Per calcolare l'ampiezza degli angoli acuti bisogna necessariamente conoscere l'ampiezza di uno dei due, per poi ricavare l'altro usando una delle seguenti formule

     

    Angolo di un triangolo rettangolo opposto al cateto minore

    \alpha = 90^{\circ}-\beta

    Angolo di un triangolo rettangolo opposto al cateto maggiore

    \beta = 90^{\circ}-\alpha

     

    Per tutte le altre formule sul triangolo rettangolo potete consultare la pagina del link.

    Esempio

    Uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è di 40°. Calcolare l'ampiezza dell'altro angolo acuto.

    Indicando con \alpha=40^{\circ} l'angolo noto e con \beta l'angolo da determinare, abbiamo che

    \beta = 90^{\circ}-\alpha = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}

    Dimostrazione delle formule per il calcolo dell'ampiezza degli angoli di un triangolo rettangolo

    La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, quale che sia il tipo di triangolo considerato. In formule, se \alpha, \ \beta, \ \gamma sono i tre angoli interni di un triangolo:

    \widehat{\alpha}+\widehat{\beta}+\widehat{\gamma}=180^{\circ}

    Nel triangolo rettangolo uno degli angoli (ad esempio \gamma) è un angolo retto, quindi la sua ampiezza è di 90°

    \gamma = 90^{\circ}

    Sostituendo nella relazione precedente otteniamo

    \widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=180^{\circ}-\widehat{\gamma}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}

    Ossia

    \widehat{\alpha}+\widehat{\beta}=90^{\circ}

    cioè i due angoli acuti di un triangolo rettangolo sono angoli complementari.

    Di conseguenza, conoscendo l'ampiezza di uno dei due angoli acuti, si può determinare l'ampiezza dell'altro come differenza tra 90^{\circ} e l'angolo noto. In formule:

    \\ \alpha = 90^{\circ} - \beta \\ \\ \beta = 90^{\circ}-\alpha

    Formule goniometriche per il calcolo degli angoli di un triangolo rettangolo

    Esistono veramente tante formule trigonometriche per l'ampiezza degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, e discendono dai quattro teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, che mettono in relazione due dei tre lati mediante seno, coseno, tangente e cotangente di ciascuno degli angoli acuti.

    Ecco una tabella di riepilogo sulle formule che discendono da tali teoremi, in cui abbiamo indicato con c_1 il cateto minore, con c_2 il cateto maggiore, con i l'ipotenusa, con \alpha l'angolo opposto al cateto minore e con \beta l'angolo opposto al cateto maggiore.

     

    Teoremi trigonometrici triangolo rettangolo

    Formule

    Primo teorema

    \\ c_1=i\sin(\alpha)\\ \\ c_2=i\sin(\beta)

    Secondo teorema

    \\ c_1=i\cos(\beta)\\ \\ c_2=i\cos(\alpha)

    Terzo teorema

    \\ c_1=c_2\tan(\alpha)\\ \\ c_2=c_1\tan(\beta)

    Quarto teorema

    \\ c_1=c_2\cot(\beta)\\ \\ c_2=c_1\cot(\alpha)

     

    Invertendo opportunamente le formule elencate è possibile calcolare l'ampiezza degli angoli di un triangolo rettangolo conoscendo due dei suoi lati, ossia i due cateti o un cateto e l'ipotenusa.

    Esempio

    Il cateto minore e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo misurano 3 cm e 6 cm. Calcolare l'ampiezza dei suoi angoli interni.

    Dal primo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli sappiamo che la misura di un cateto è uguale alla misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto

    c_1=i\sin(\alpha)

    Da cui

    \sin(\alpha) = \frac{c_1}{i} = \frac{3\mbox{ cm}}{6 \mbox{ cm}} = \frac{1}{2}

    Il seno di un angolo vale \frac{1}{2} se l'angolo ha un'ampiezza di 30^{\circ} o di 150^{\circ}, quindi

    \alpha= 30^{\circ}\ \mbox{ oppure }\ \alpha=150^{\circ}

    Poiché \alpha è un angolo acuto non può essere ampio 150^{\circ}, ragion per cui \alpha=30^{\circ}.

    Possiamo ora ricavare l'ampiezza dell'altro angolo come differenza

    \beta = 90^{\circ}-\alpha = 90^{\circ} -30^{\circ} = 60^{\circ}

    ***

    È tutto! Per altri problemi di trigonometria sui triangoli - click!

    Se invece vi occorrono esercizi svolti sul triangolo rettangolo di geometria piana vi rimandiamo alla scheda del link.

    Risposta di Galois
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