Soluzioni
  • Gli angoli di un triangolo rettangolo sono due angoli acuti (<90°) e un angolo retto (=90°); in particolare l'angolo retto è quello opposto al lato maggiore, detto ipotenusa, mentre i due angoli acuti sono gli angoli opposti ai cateti del triangolo rettangolo.

     

    Angoli triangolo rettangolo

    Angolo retto γ opposto all'ipotenusa i

    Angoli acuti α e β opposti ai cateti

     

    Formule per gli angoli del triangolo rettangolo

    Siano α l'angolo opposto al cateto minore e β l'angolo opposto al cateto maggiore e γ l'angolo opposto all'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

    γ è un angolo retto, dunque la sua ampiezza è nota ed è pari a 90°

    γ = 90°

    Per calcolare l'ampiezza degli angoli acuti bisogna necessariamente conoscere l'ampiezza di uno dei due, per poi ricavare l'altro usando una delle seguenti formule

     

    Tipo di formula

    Formula per gli angoli del triangolo rettangolo

    Angolo di un triangolo rettangolo opposto al cateto minore

    α = 90°-β

    Angolo di un triangolo rettangolo opposto al cateto maggiore

    β = 90°-α

     

    Per tutte le altre formule sul triangolo rettangolo potete consultare la pagina del link.

    Esempio

    Uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è di 40°. Calcolare l'ampiezza dell'altro angolo acuto.

    Indicando con α = 40° l'angolo noto e con β l'angolo da determinare, abbiamo che

    β = 90°-α = 90°-40° = 50°

    Dimostrazione delle formule per il calcolo dell'ampiezza degli angoli di un triangolo rettangolo

    La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, quale che sia il tipo di triangolo considerato. In formule, se α, β, γ sono i tre angoli interni di un triangolo:

    α+β+γ = 180°

    Nel triangolo rettangolo uno degli angoli (ad esempio γ) è un angolo retto, quindi la sua ampiezza è di 90°

    γ = 90°

    Sostituendo nella relazione precedente otteniamo

    α+β = 180°-γ = 180°-90° = 90°

    Ossia

    α+β = 90°

    cioè i due angoli acuti di un triangolo rettangolo sono angoli complementari.

    Di conseguenza, conoscendo l'ampiezza di uno dei due angoli acuti, si può determinare l'ampiezza dell'altro come differenza tra 90° e l'angolo noto. In formule:

     α = 90°-β ; β = 90°-α

    Formule goniometriche per il calcolo degli angoli di un triangolo rettangolo

    Esistono veramente tante formule trigonometriche per l'ampiezza degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, e discendono dai quattro teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, che mettono in relazione due dei tre lati mediante seno, coseno, tangente e cotangente di ciascuno degli angoli acuti.

    Ecco una tabella di riepilogo sulle formule che discendono da tali teoremi, in cui abbiamo indicato con c_1 il cateto minore, con c_2 il cateto maggiore, con i l'ipotenusa, con α l'angolo opposto al cateto minore e con β l'angolo opposto al cateto maggiore.

     

    Teorema trigonometrico triangolo rettangolo

    Formula

    Primo teorema

     c_1 = isin(α) ; c_2 = isin(β)

    Secondo teorema

     c_1 = icos(β) ; c_2 = icos(α)

    Terzo teorema

     c_1 = c_2tan(α) ; c_2 = c_1tan(β)

    Quarto teorema

     c_1 = c_2cot(β) ; c_2 = c_1cot(α)

     

    Invertendo opportunamente le formule elencate è possibile calcolare l'ampiezza degli angoli di un triangolo rettangolo conoscendo due dei suoi lati, ossia i due cateti o un cateto e l'ipotenusa.

    Esempio

    Il cateto minore e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo misurano 3 cm e 6 cm. Calcolare l'ampiezza dei suoi angoli interni.

    Dal primo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli sappiamo che la misura di un cateto è uguale alla misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto

    c_1 = isin(α)

    Da cui

    sin(α) = (c_1)/(i) = (3 cm)/(6 cm) = (1)/(2)

    Il seno di un angolo vale (1)/(2) se l'angolo ha un'ampiezza di 30° o di 150°, quindi

    α = 30° oppure α = 150°

    Poiché α è un angolo acuto non può essere ampio 150°, ragion per cui α = 30°.

    Possiamo ora ricavare l'ampiezza dell'altro angolo come differenza

    β = 90°-α = 90°-30° = 60°

    ***

    È tutto! Per altri problemi di trigonometria sui triangoli - click!

    Se invece vi occorrono esercizi svolti sul triangolo rettangolo di geometria piana vi rimandiamo alla scheda del link.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Geometria