Soluzioni
  • Si dice altezza di un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa, cioè il segmento che parte dal vertice dell'angolo retto e che cade perpendicolarmente sull'ipotenusa.

    Ci teniamo comunque a precisare che il triangolo rettangolo ha tre altezze, tanti quanti sono i suoi vertici. Le altre due altezze però coincidono con i due cateti, che sono l'uno l'altezza relativa all'altro.

    Per questo motivo, quando si parla di altezza del triangolo rettangolo, ci si riferisce implicitamente all'altezza relativa all'ipotenusa.

     

    Altezza triangolo rettangolo

    Altezza del triangolo rettangolo h

     

    Formule per l'altezza del triangolo rettangolo

    Nella seguente tabella vengono elencate le formule per l'altezza del triangolo rettangolo. A proposito dei simboli: h indica l'altezza, c_1 il cateto minore, c_2 il cateto minore, p_1 la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa, p_2 la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa e S l'area.

     

    Altezza triangolo rettangolo con area e ipotenusa

    h=\frac{2S}{i}

    Altezza triangolo rettangolo con cateti e ipotenusa

    h=\frac{c_1 \times c_2}{i}

    Altezza triangolo rettangolo con cateto minore e sua proiezione sull'ipotenusa

    h=\sqrt{c_1^2-p_1^2}

    Altezza triangolo rettangolo con cateto maggiore e sua proiezione sull'ipotenusa

    h=\sqrt{c_2^2-p_2^2}

    Altezza triangolo rettangolo con proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

    h=\sqrt{p_1 \times p_2}

     

    Per tutte le formule sul triangolo rettangolo e per leggerne le principali proprietà vi rimandiamo al formulario del link.

    Esercizi svolti sull'altezza del triangolo rettangolo

    Vi proponiamo una serie di problemi svolti sull'altezza del triangolo rettangolo, in cui abbiamo passato in rassegna le varie formule, spiegato da dove derivano e mostrato un esempio di applicazione.

    Calcolo altezza triangolo rettangolo con area e ipotenusa

    L'area di un triangolo rettangolo si calcola moltiplicando tra loro le misure di ipotenusa e altezza, e dividendo il risultato per 2

    S=\frac{i \times h}{2}

    Invertendo la precedente relazione in favore di h si ottiene la formula diretta che permette di calcolare la misura dell'altezza conoscendo l'area e la misura dell'ipotenusa

    h=\frac{2S}{i}

    Esempio

    Determinare la misura dell'altezza di un triangolo rettangolo sapendo che la sua area è di 9,5 metri quadrati e che l'ipotenusa misura 5 metri.

    h=\frac{2S}{i}=\frac{2 \times (9,5 \mbox{ m}^2)}{5 \mbox{ m}} = \frac{19 \mbox{ m}^2}{5 \mbox{ m}} = 3,8 \mbox{ m}

    Calcolo altezza triangolo rettangolo con cateti e ipotenusa

    Se si conoscono le misure dei tre lati di un triangolo rettangolo si può trovare l'altezza moltiplicando le misure dei due cateti e dividendo il risultato per la lunghezza dell'ipotenusa:

    h=\frac{c_1 \times c_2}{i}

    Esempio

    Il perimetro di un triangolo rettangolo è di 12 centimetri e i due cateti misurano 3 cm e 4 cm. Calcolare la misura dell'altezza.

    Dalla formula per il perimetro del triangolo rettangolo

    2p=c_1+c_2+i

    si può ricavare la misura dell'ipotenusa

    i=2p-c_1-c_2=12 \mbox{ cm} - 3 \mbox{ cm} - 4 \mbox{ cm} = 5 \mbox{ cm}

    per poi calcolare l'altezza

    h=\frac{c_1 \times c_2}{i}=\frac{(3 \mbox{ cm}) \times (4 \mbox{ cm})}{5 \mbox{ cm}} = \frac{12 \mbox{ cm}^2}{5 \mbox{ cm}} = 2,4 \mbox{ cm}

    Calcolo altezza triangolo rettangolo con cateto e sua proiezione sull'ipotenusa

    Per determinare l'altezza si può estrarre la radice quadrata della differenza tra il quadrato della misura di un cateto e il quadrato della misura della sua proiezione sull'ipotenusa

    \\h=\sqrt{c_1^2-p_1^2} \\ \\ h=\sqrt{c_2^2-p_2^2}

    Le precedenti formule discendono dal teorema di Pitagora, infatti l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo in due nuovi triangoli rettangoli, aventi:

    - come ipotenusa uno dei due cateti del triangolo di partenza;

    - come cateti, l'altezza e la proiezione di ciascun cateto sull'ipotenusa.

    Esempio

    Il cateto minore di un triangolo rettangolo e la sua proiezione sull'ipotenusa misurano, rispettivamente, 17 dm e 8 dm. Determinare la misura dell'altezza.

    \\h=\sqrt{c_1^2-p_1^2}=\sqrt{(17 \mbox{ dm})^2-(8 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{289 \mbox{ dm}^2 - 64 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{225 \mbox{ dm}^2} = 15 \mbox{ dm}

    Calcolo altezza triangolo rettangolo con le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

    Dal secondo teorema di Euclide sappiamo che l'altezza relativa all'ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa:

    p_1:h=h:p_2

    Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni otteniamo la formula

    h^2=p_1 \times p_2

    e quindi possiamo ricavare la misura dell'altezza estraendo la radice quadrata del prodotto tra le proiezioni dei cateti

    h=\sqrt{p_1 \times p_2}

    Esempio

    Calcolare la misura dell'altezza di un triangolo rettangolo in cui le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa sono di 25 cm e 9 cm.

    h=\sqrt{p_1 \times p_2}=\sqrt{(25 \mbox{ cm}) \times (9 \mbox{ cm})} = \sqrt{225 \mbox{ cm}^2}=15 \mbox{ cm}

    ***

    Qualora vi servissero altri problemi svolti sul triangolo rettangolo - click!

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