Soluzioni
  • I paradossi di Zenone più famosi sono i quattro paradossi contro il movimento, che raccontano delle esperienze di vita comune con lo scopo di dimostrare l'impossibilità del moto. Secondo Zenone, infatti, il movimento di un corpo o di un oggetto è solo un'illusione.

    In questa pagina abbiamo fornito dapprima l'enunciato e una spiegazione dei paradossi di Zenone, per poi spiegare le relative soluzioni.

    Il paradosso dello stadio

    Anzitutto è bene chiarire che Zenone, con la parola stadio, intendeva un'unità di misura della lunghezza pari a circa 600 piedi, che equivalgono a 182,88 metri.

    Il paradosso dello stadio afferma che non è possibile arrivare alla fine di uno stadio, infatti bisognerebbe dapprima giungere a metà tragitto, poi si dovrebbe raggiungere la metà della metà, successivamente la metà della metà della metà, e così via fino all'infinito.

    Poiché non è possibile percorrere in un tempo finito infinite parti di spazio, non si riesce mai a raggiungere la fine dello stadio.

    Per fissare le idee supponiamo che lo stadio sia un segmento di estremi A e B. Per raggiungere il punto B partendo dal punto A si deve prima raggiungere la metà del segmento AB, cioè il punto C.

    Una volta raggiunto il punto C, per arrivare al punto B si deve passare per il punto D, punto medio di CB.

    Giunti nel punto D, per raggiungere il punto B si deve passare per il punto E, che si trova a metà tra i punti D e B.

     

    Paradosso dello stadio

     

    Poiché questa iterazione può continuare all'infinito, si ottengono infinite parti di spazio che non possono essere percorse in un tempo finito.

    Achille e la tartaruga

    Il paradosso di Achille e la tartaruga è il più famoso tra i paradossi di Zenone. Esso afferma che se il piè veloce Achille venisse sfidato in una gara di corsa da una tartaruga a cui è stato concesso un solo piede di vantaggio, allora Achille non riuscirebbe mai a raggiungerla.

    Detti A_0 il punto in cui parte Achille e T_0 il punto in cui parte la tartaruga, nel tempo che Achille impiega per raggiungere il punto T_0, la tartaruga si sarà spostata nel punto T_1.

    Non appena Achille avrà raggiunto il punto T_1 la tartaruga si sarà spostata nel punto T_2.

    Raggiunta la posizione T_2, la tartaruga si sarà spostata nel punto T_3, e così via...

    La gara prosegue quindi in questo modo: Achille raggiungere il punto in cui si trova la tartaruga, ma nel frattempo questa si è spostata un po' più in là e i due non si troveranno mai nello stesso punto.

     

    Achille e la tartaruga

     

    Il paradosso della freccia

    Una freccia scoccata da un arco, sebbene appaia in movimento, è in realtà immobile. In un dato istante di durata nulla, infatti, la freccia occupa una porzione di spazio pari alla sua lunghezza, quindi in ciascun istante è immobile.

     

    Paradosso della freccia

     

    Poiché il tempo è fatto da infiniti istanti, e in ogni istante la freccia risulta ferma, dalla somma di istanti immobili non può scaturire un movimento, quindi il moto della freccia è solo un'illusione.

    Il paradosso delle masse nello stadio

    Se due corpi si vengono incontro alla stessa velocità allora risulta l'assurdo logico che il doppio del tempo è uguale alla sua metà, quindi il movimento non può esistere.

    Per capire questo paradosso consideriamo tre treni A, B e C tutti della stessa lunghezza L e posti su tre binari distinti e paralleli, così come mostrato nella seguente immagine.

     

    Paradosso delle masse nello stadio

     

    Supponiamo che il treno B sia fermo e che i treni A e C si muovano verso il treno B con la stessa velocità v.

    Il treno A, per percorrere il tratto di lunghezza L del treno B impiegherà un tempo t pari a

    t=\frac{L}{v}

    Tuttavia impiega un tempo pari a \frac{t}{2} per percorrere la stessa lunghezza L del treno C.

    Si genera quindi un assurdo perché il treno A percorre una stessa distanza L in due tempi diversi.

    Soluzioni dei paradossi di Zenone

    Le soluzioni del paradosso dello stadio e del paradosso di Achille e la tartaruga scaturiscono dal fatto che la somma di un numero infinito di addendi può dare come risultato un numero finito.

    Sebbene ciò sia facilmente dimostrabile con gli strumenti dell'Analisi Matematica oggi a nostra disposizione, non era neanche immaginabile quando Zenone formulò i suoi paradossi (nel V secolo avanti Cristo).

    Per una spiegazione dettagliata della soluzione di questi paradossi potete consultare l'approfondimento dedicato al paradosso di Achille e la tartaruga.

    Il paradosso della freccia, invece, si risolve con il calcolo infinitesimale, secondo cui i singoli istanti di tempo non sono nulli, ma infinitamente piccoli. Di conseguenza in un istante di tempo infinitamente piccolo la freccia si muove percorrendo uno spazio infinitesimo.

    Infine, la soluzione del paradosso delle masse nello stadio riguarda il fatto che la durata di un fenomeno non è assoluta, bensì dipende dal sistema di riferimento adottato. Nel paradosso infatti si descrive il moto del treno A utilizzando due sistemi di riferimento differenti, il treno fermo (B) e il treno in movimento (C), e quindi è normale che la durata del fenomeno sia diversa.

    ***

    Per sapere cos'è un paradosso e per leggerne altri esempi vi rimandiamo alla pagina dell'omonimo link.

    Risposta di Galois
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