Ipotenusa del triangolo rettangolo: definizione, formule ed esempi

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è il lato opposto all'angolo retto, e tra i lati del triangolo rettangolo è quello con la lunghezza maggiore. L'ipotenusa del triangolo rettangolo si calcola come i=√(c₁²+c₂²), ossia con il teorema di Pitagora e con le misure dei cateti.

In alternativa si possono usare formule e metodi differenti a seconda dei dati di cui si dispone.

Ipotenusa triangolo rettangolo = √(c₁²+c₂²).

Formule per l'ipotenusa del triangolo rettangolo

Nella seguente tabella elenchiamo le formule dirette per il calcolo dell'ipotenusa.

Abbiamo indicato con l'ipotenusa, con il cateto minore, con il cateto maggiore, con la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa, con la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa, con l'altezza, con l'area e con il perimetro.

Non spaventarti per la lunghezza della tabella. Come avremo modo di vedere negli esercizi, tutte le formule che abbiamo elencato discendono da famosi teoremi e dalle proprietà di cui gode il triangolo rettangolo.

Esercizi svolti sull'ipotenusa del triangolo rettangolo

Passiamo agli esercizi: tra un istante spiegheremo da dove deriva ciascuna delle formule per il calcolo dell'ipotenusa e mostreremo un esempio di applicazione.

Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con i cateti

Dal teorema di Pitagora sappiamo che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Estraendo la radice quadrata di entrambi i membri otteniamo la formula per calcolare la misura dell'ipotenusa da quella dei cateti.

Esempio

I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 13,3 e 15,6 cm. Calcolare la misura dell'ipotenusa.

Calcolo ipotenusa online (con i cateti)

Inserisci le misure dei due cateti e il calcolatore ti restituirà, in un click, la misura dell'ipotenusa. Il tool non richiede alcuna unità di misura; per i valori decimali è necessario usare il punto al posto della virgola.

L'ipotenusa misura:

Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con area e altezza

Invertendo la formula per il calcolo dell'area del triangolo rettangolo

si può ottenere la misura dell'ipotenusa moltiplicando l'area per 2 e dividendola per la misura dell'altezza:

Esempio

L'area di un triangolo rettangolo è di 36 metri quadrati. Calcolare la misura dell'ipotenusa sapendo che l'altezza è di 5 metri.

Calcolo ipotenusa online (con area e altezza)

Valgono considerazioni analoghe a quelle del precedente calcolatore per quanto riguarda unità di misura e numeri decimali.

L'ipotenusa misura:

Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con cateto e proiezione del cateto sull'ipotenusa

In un triangolo rettangolo vale il primo teorema di Euclide, secondo cui ciascun cateto è il medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni si ottengono le due formule che permettono di determinare l'ipotenusa partendo dalle misure di ciascun cateto e della sua proiezione.

Esempio

Determinare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto minore misura 3 decimetri e che la sua proiezione sull'ipotenusa è di 1,8 dm.

Calcolo ipotenusa online (con cateto e relativa proiezione)

Anche qui, non inserire alcuna unità di misura e usa il punto al posto della virgola per le misure decimali.

L'ipotenusa misura:

Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

Se con i dati forniti dalla traccia si riesce a risalire alle misure delle due proiezioni dei cateti, dalla loro somma si ottiene la lunghezza dell'ipotenusa.

Esempio

La proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è di 25 mm e l'altezza misura 15 mm. Trovare la lunghezza dell'ipotenusa.

Dal secondo teorema di Euclide sappiamo che l'altezza di un triangolo rettangolo è il medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Poiché conosciamo la misura della proiezione del cateto maggiore

e la misura dell'altezza

possiamo ricavare la proiezione del cateto minore applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni

e invertire la formula in favore di

Dalla somma delle misure delle proiezioni dei due cateti si ricava l'ipotenusa:

Calcolo ipotenusa online (con le proiezioni dei cateti)

Come sopra per quel che riguarda valori decimali e unità di misura.

L'ipotenusa misura:

Calcolo ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele (con angoli acuti di 45°)

Un triangolo rettangolo isoscele ha i due cateti congruenti

ed equivale alla metà di un quadrato, il cui lato ha la stessa misura dei cateti e la cui diagonale è l'ipotenusa.

Calcolare la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele equivale quindi a determinare la misura della diagonale di un quadrato, che si ottiene moltiplicando il lato per la radice quadrata di 2.

Esempio

Trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele il cui cateto misura 7 centimetri.

Calcolo ipotenusa online (triangolo rettangolo 45-45, con un cateto)

Sempre attenzione a misure decimali e unità di misura. ;)

L'ipotenusa misura:

Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°

In un triangolo 30 60 90 per determinare l'ipotenusa basta conoscere la misura di uno dei due cateti e applicare una tra le seguenti formule

Esempio

Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono ampi 30° e 60°. Calcolare la lunghezza dell'ipotenusa sapendo che il cateto minore è di 5,6 metri.

Calcolo ipotenusa online (triangolo rettangolo 30-60-90, con un cateto)

Al di là delle stesse raccomandazioni valide per gli altri tool, qui è richiesto solamente un input.

L'ipotenusa misura:

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Con questo è tutto! Se ti occorrono altri esercizi potete consultare la nostra scheda di problemi svolti sul triangolo rettangolo.