Soluzioni
  • Si dice ipotenusa del triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo retto. Per calcolare la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo si possono usare formule e metodi differenti a seconda delle informazioni di cui si dispone.

     

    Ipotenusa triangolo rettangolo

    Ipotenusa i di un triangolo rettangolo.

     

    Formule per l'ipotenusa del triangolo rettangolo

    Nella seguente tabella vengono elencate le formule dirette per il calcolo dell'ipotenusa. Abbiamo indicato con i l'ipotenusa, con c_1 il cateto minore, con c_2 il cateto maggiore, con p_1 la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa, con p_2 la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa, con h l'altezza, con S l'area e con 2p il perimetro.

     

    Ipotenusa del triangolo rettangolo con i due cateti

    i=\sqrt{c_1^2 + c_2^2}

    Ipotenusa del triangolo rettangolo con area e altezza

    i=\frac{2S}{h}

    Ipotenusa del triangolo rettangolo con cateto minore e sua proiezione

    i=\frac{c_1^2}{p_1}

    Ipotenusa del triangolo rettangolo con cateto maggiore e sua proiezione

    i=\frac{c_2^2}{p_2}

    Ipotenusa del triangolo rettangolo con proiezioni dei due cateti

    i=p_1+p_2

    Ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele con angoli acuti di 45° (c_1=c_2=c)

    i=\sqrt{2}c

    Ipotenusa del triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°

    i=2c_1

    i=\frac{2c_2}{\sqrt{3}}

     

    Non fatevi spaventare dal numero di formule. :) Come avremo modo di vedere negli esercizi, tutte le formule che abbiamo elencato discendono da famosi teoremi e dalle proprietà di cui gode il triangolo rettangolo.

    Esercizi svolti sull'ipotenusa del triangolo rettangolo

    È giunto il momento degli esercizi: tra un istante spiegheremo da dove deriva ciascuna delle formule per il calcolo dell'ipotenusa e mostreremo un esempio di applicazione.

    Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con i cateti

    Dal teorema di Pitagora sappiamo che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. In una formula

    i^2=c_1^2+c_2^2

    Estraendo la radice quadrata di entrambi i membri otteniamo la formula per calcolare la misura dell'ipotenusa da quella dei cateti

    i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}

    Esempio

    I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 13,3 cm e 15,6 cm. Calcolare la misura dell'ipotenusa.

    \\ i=\sqrt{c_1^2+c_2^2} = \sqrt{(13,3 \mbox{ cm})^2+(15,6 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{176,89 \mbox{ cm}^2 + 243,36 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{420,25 \mbox{ cm}^2} = 20,5 \mbox{ cm}

    Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con area e altezza

    Invertendo la formula per il calcolo dell'area del triangolo rettangolo

    S=\frac{i \times h}{2}

    si può ottenere la misura dell'ipotenusa moltiplicando l'area per 2 e dividendola per la misura dell'altezza

    i=\frac{2S}{h}

    Esempio

    L'area di un triangolo rettangolo è di 36 metri quadrati. Calcolare la misura dell'ipotenusa sapendo che l'altezza è di 5 metri.

    i=\frac{2S}{h}=\frac{2 \times (36 \mbox{ m}^2)}{5 \mbox{ m}} = \frac{72 \mbox{ m}^2}{5 \mbox{ m}} = 14,4 \mbox{ m}

    Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con cateto e proiezione del cateto sull'ipotenusa

    Per un triangolo rettangolo vale il primo teorema di Euclide, secondo cui ciascun cateto è il medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa

    \\ i:c_1=c_1:p_1 \\ \\ i:c_2=c_2:p_2

    Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni si ottengono le due formule che permettono di determinare l'ipotenusa partendo dalle misure del cateto e della sua proiezione

    \\ i = \frac{c_1^2}{p_1} \\ \\ \\ i=\frac{c_2^2}{p_2}

    Esempio

    Determinare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto minore misura 3 decimetri e che la sua proiezione sull'ipotenusa è di 1,8 dm.

    i = \frac{c_1^2}{p_1}=\frac{(3 \mbox{ dm})^2}{1,8 \mbox{ dm}} = \frac{9 \mbox{ dm}^2}{1,8 \mbox{ dm}} = 5 \mbox{ dm}

    Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

    Se con i dati forniti dal testo del problema si riesce a risalire alle misure delle due proiezioni dei cateti, dalla loro somma si ottiene la lunghezza dell'ipotenusa

    i=p_1+p_2

    Esempio

    La proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è di 25 mm e l'altezza misura 15 mm. Trovare la lunghezza dell'ipotenusa.

    Dal secondo teorema di Euclide sappiamo che l'altezza di un triangolo rettangolo è il medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

    p_1:h=h:p_2

    Poiché conosciamo la misura della proiezione del cateto maggiore

    p_2=25 \mbox{ mm}

    e la misura dell'altezza

    h=15 \mbox{ mm}

    possiamo ricavare la proiezione del cateto minore applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni

    \\ h^2=p_1 \times p_2 \\ \\ p_1=\frac{h^2}{p_2} = \frac{(15 \mbox{ mm})^2}{25 \mbox{ mm}} = \frac{225 \mbox{ mm}^2}{25\mbox{ mm}} = 9 \mbox{ mm}

    Dalla somma delle misure delle proiezioni dei due cateti si ricava l'ipotenusa

    i=p_1+p_2=9 \mbox{ mm} + 25 \mbox{ mm} = 34 \mbox{ mm}

    Calcolo ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele (con angoli acuti di 45°)

    Un triangolo rettangolo isoscele ha i due cateti congruenti

    c_1=c_2=c

    ed equivale alla metà di un quadrato, il cui lato ha la stessa misura dei cateti e la cui diagonale è l'ipotenusa.

    Calcolare la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele equivale quindi a determinare la misura della diagonale di un quadrato, che si ottiene moltiplicando il lato per la radice quadrata di 2.

    i=\sqrt{2}c

    Esempio

    Trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele il cui cateto misura 7 centimetri.

    i=\sqrt{2}c=\sqrt{2} \times (7 \mbox{ cm}) = 7\sqrt{2} \mbox{ cm} \simeq 9,9 \mbox{ cm}

    Calcolo ipotenusa triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°

    In un triangolo 30 60 90 per determinare l'ipotenusa basta conoscere la misura di uno dei due cateti e applicare una tra le seguenti formule

    \\ i=2c_1 \\ \\ i=\frac{2c_2}{\sqrt{3}}

    Esempio

    Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono ampi 30° e 60°. Calcolare la lunghezza dell'ipotenusa sapendo che il cateto minore è di 5,6 metri.

    i = 2c_1 = 2 \times (5,6 \mbox{ m}) = 11,2 \mbox{ m}

    *** 

    Con questo è tutto! Se vi occorrono altri esercizi potete consultare la nostra scheda di problemi svolti sul triangolo rettangolo.

    Risposta di Galois
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