Soluzioni
  • Il perimetro di un triangolo rettangolo è dato dalla somma delle misure dei suoi lati, quindi per determinare il perimetro si deve sommare la lunghezza dell'ipotenusa alle misure dei due cateti del triangolo rettangolo.

     

    Perimetro triangolo rettangolo

    Perimetro triangolo rettangolo = c1+c2+i

     

    Formula per il perimetro del triangolo rettangolo

    Siano 2p il perimetro, c_1 il cateto minore, c_2 il cateto maggiore e i l'ipotenusa. La formula che consente di determinare il perimetro del triangolo rettangolo è la seguente:

    2p=c_1+c_2+i

    Per le formule inverse del perimetro e per avere una panoramica completa di tutte le formule e le proprietà di cui gode il triangolo rettangolo potete consultare il formulario del link.

    Esercizi svolti sul perimetro del triangolo rettangolo

    Passiamo agli esercizi e vediamo come si risolvono i problemi sul perimetro del triangolo rettangolo, analizzando le più frequenti tipologie di esercizi proposti dai professori e dai libri di testo.

    Calcolo perimetro triangolo rettangolo con i cateti o con cateto e ipotenusa

    Se sono note le misure di due lati del triangolo rettangolo si può risalire alla misura del terzo lato usando le formule inverse del teorema di Pitagora

    i^2=c_1^2+c_2^2

    Disponendo delle misure dei tre lati, dalla loro somma si ricava il perimetro

    2p=c_1+c_2+i

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che i suoi cateti misurano 6 dm e 9,1 dm.

    Per individuare il perimetro ci manca la lunghezza dell'ipotenusa, che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora

    \\ i=\sqrt{c_1^2+c_2^2} = \sqrt{(6 \mbox{ dm})^2 + (9,1 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{36 \mbox{ dm}^2 + 82,81 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{118,81 \mbox{ dm}^2} = 10,9 \mbox{ dm}

    Concludiamo sommando le misure dei tre lati

    2p=c_1+c_2+i = 6 \mbox{ dm} + 9,1 \mbox{ dm} + 10,9 \mbox{ dm} = 26 \mbox{ dm}

    Calcolo perimetro triangolo rettangolo con area e cateto

    Conoscendo l'area e la lunghezza di un cateto possiamo risalire alla misura dell'altro cateto invertendo la formula per l'area del triangolo rettangolo

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    dopodiché si può trovare la misura dell'ipotenusa con il teorema di Pitagora

    i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}

    e infine calcolare il perimetro

    2p=c_1+c_2+i

    Esempio

    L'area di un triangolo rettangolo è di 9,24 metri quadrati e il cateto minore misura 3,3 metri. Calcolare il perimetro.

    Troviamo la misura del cateto maggiore invertendo la formula dell'area

    \\ S=\frac{c_1 \times c_2}{2} \\ \\ \\ c_2 = \frac{2 \times S}{c_1} = \frac{2 \times (9,24 \mbox{ m}^2)}{3,3 \mbox{ m}} = \frac{18,48 \mbox{ m}^2}{3,3 \mbox{ m}} = 5,6 \mbox{ m}

    Applicando il teorema di Pitagora ricaviamo la misura dell'ipotenusa

    \\ i=\sqrt{c_1^2+c_2^2} = \sqrt{(3,3 \mbox{ m})^2 + (5,6 \mbox{ m})^2} = \\ \\ = \sqrt{10,89 \mbox{ m}^2 + 31,36 \mbox{ m}^2} = \sqrt{42,25 \mbox{ m}^2} = 6,5 \mbox{ m}

    Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per calcolare il perimetro

    2p=c_1+c_2+i = 3,3 \mbox{ m} + 5,6 \mbox{ m} + 6,5 \mbox{ m} = 15,4 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro triangolo rettangolo con altezza e cateto

    Per fissare le idee supponiamo di conoscere la lunghezza h dell'altezza del triangolo rettangolo e la misura c_1 del cateto minore; se è nota la lunghezza c_2 del cateto maggiore procederemo in modo analogo.

    - Ricaviamo la misura della proiezione del cateto minore sull'ipotenusa con il teorema di Pitagora

    p_1=\sqrt{c_1^2 - h^2}

    - Determiniamo la misura della proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa applicando il secondo teorema di Euclide

    p_2=\frac{h^2}{p_1}

    - La somma delle proiezioni fornisce la misura dell'ipotenusa

    i=p_1+p_2

    - Calcoliamo la misura del cateto maggiore con il teorema di Pitagora

    c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}

    - A questo punto possiamo calcolare il perimetro

    2p=c_1+c_2+i

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo la cui altezza è di 3 cm e il cui cateto maggiore misura 5 cm.

    Cominciamo con la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa

    \\ p_2=\sqrt{c_2^2 - h^2} = \sqrt{(5 \mbox{ cm})^2 - (3 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2 - 9 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{16 \mbox{ cm}^2} = 4 \mbox{ cm}

    Calcoliamo la misura della proiezione del cateto minore sull'ipotenusa ricorrendo al secondo teorema di Euclide

    p_1=\frac{h^2}{p_2} = \frac{(3 \mbox{ cm})^2}{4 \mbox{ cm}} = \frac{9 \mbox{ cm}^2}{4 \mbox{ cm}}=2,25 \mbox{ cm}

    La somma delle proiezioni coincide con l'ipotenusa

    i=p_1+p_2=2,25 \mbox{ cm} + 4 \mbox{ cm} = 6,25 \mbox{ cm}

    A questo punto possiamo calcolare la lunghezza del cateto minore con il teorema di Pitagora

    \\ c_1=\sqrt{i^2 - c_2^2} = \sqrt{(6,25 \mbox{ cm})^2 - (5 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{39,0625 \mbox{ cm}^2 - 25 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{14,0625 \mbox{ cm}^2} = 3,75 \mbox{ cm}

    per poi determinare il perimetro

    2p=c_1+c_2+i = 3,75 \mbox{ cm} + 5 \mbox{ cm} + 6,25 \mbox{ cm} = 15 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro triangolo rettangolo con cateto e proiezione del cateto sull'ipotenusa

    Dalle misure di un cateto e della sua proiezione sull'ipotenusa si può determinare la lunghezza dell'ipotenusa con il primo teorema di Euclide

    \\ i=\frac{c_1^2}{p_1} \\ \\ \\ i=\frac{c_2^2}{p_2}

    per poi trovare la misura dell'altro cateto con il teorema di Pitagora e, infine, individuare il perimetro con la relativa formula

    2p=c_1+c_2+i

    Esempio

    Il cateto minore di un triangolo rettangolo e la sua proiezione sull'ipotenusa misurano, rispettivamente, 7 cm e 1,96 cm. Calcolare il perimetro.

    Troviamo la misura dell'ipotenusa con il primo teorema di Euclide

    i=\frac{c_1^2}{p_1}=\frac{(7 \mbox{ cm})^2}{1,96 \mbox{ cm}} = \frac{49 \mbox{ cm}^2}{1,96 \mbox{ cm}}=25 \mbox{ cm}

    Con il teorema di Pitagora calcoliamo la misura del cateto maggiore

    \\ c_2=\sqrt{i^2 - c_1^2} = \sqrt{(25 \mbox{ cm})^2 - (7 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{625 \mbox{ cm}^2 - 49 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{576 \mbox{ cm}^2} = 24 \mbox{ cm}

    e infine il perimetro

    2p=c_1+c_2+i = 7 \mbox{ cm} + 24 \mbox{ cm} + 25 \mbox{ cm} = 56 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°

    In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti ampi 30° e 60° si può calcolare la misura dei tre lati, e quindi il perimetro, conoscendo la lunghezza di un solo lato. Nel caso, vi raccomandiamo un ripasso delle formule sul triangolo 30 60 90.

    Esempio

    Il cateto minore di un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60° è di 50 mm. Quanto misura il perimetro?

    Dalla misura del cateto minore

    c_1=50 \mbox{ mm}

    possiamo risalire alle misure dell'ipotenusa e del cateto maggiore

    \\ i=2c_1 = 2 \times (50 \mbox{ mm}) = 100 \mbox{ mm} \\ \\ c_2 = \sqrt{3}c_1 = \sqrt{3} \times (50 \mbox{ mm}) = 50\sqrt{3} \mbox{ mm} \simeq 86,6 \mbox{ mm}

    A questo punto è immediato calcolare il perimetro

    2p=c_1+c_2+i = 50 \mbox{ mm} + 86,6 \mbox{ mm} + 100 \mbox{ mm} = 236,6 \mbox{ mm}

    Calcolo perimetro triangolo rettangolo con angoli acuti di 45°

    Se gli angoli acuti sono di 45° allora abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo isoscele, equivalente alla metà di un quadrato avente come lati i due cateti e come diagonale l'ipotenusa. Di conseguenza

    \\ c_1=c_2 \\ \\ i=\sqrt{2}c_1

    Anche in questo caso, disponendo della misura di un solo lato è possibile ricavare tutti gli altri e quindi determinare il perimetro.

    Esempio

    Un triangolo rettangolo ha gli angoli acuti ampi 45°. Determinare il perimetro sapendo che uno dei due cateti misura 15 cm.

    I due cateti del triangolo rettangolo sono congruenti

    c_1=c_2=15 \mbox{ cm}

    quindi possiamo individuare la misura dell'ipotenusa con il teorema di Pitagora, o equivalentemente moltiplicare la lunghezza di uno dei due cateti per la radice di 2

    i=\sqrt{2}c_1 = \sqrt{2} \times (15 \mbox{ cm}) = 15\sqrt{2} \mbox{ cm} \simeq 21,2 \mbox{ cm}

    Disponendo delle misure dei tre lati si può calcolare il perimetro

    2p=c_1+c_2+i = 7 \mbox{ cm}+15\mbox{ cm} + 15 \mbox{ cm} + 21,2 \mbox{ cm} = 51,2 \mbox{ cm}

    ***

    Per altri esercizi svolti sul triangolo rettangolo - click! ;)

    Risposta di Galois
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