Soluzioni
  • Achille e la tartaruga è uno tra i più famosi paradossi di Zenone e viene spesso usato per introdurre il concetto matematico di somma di infiniti numeri; non a caso la soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga risiede proprio nel fatto che la somma di infiniti addendi può restituire un numero finito.

    Formulazione del paradosso di Achille e la tartaruga

    Il piè veloce Achille e una tartaruga si sfidano in una gara di corsa. Se alla tartaruga viene dato un vantaggio iniziale, allora Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga.

    Uno dei motivi per cui si ha difficoltà nel comprendere tale paradosso è che si presta poca attenzione al suo enunciato; badate bene, infatti, che l'intento di Achille è quello di raggiungere la tartaruga e non quello di superarla.

    Chiarito ciò, per fissare le idee diciamo A_0 il punto in cui parte Achille e T_0 il punto in cui parte la tartaruga.

    - Nel tempo che Achille impiega per raggiungere il punto T_0, la tartaruga si sarà spostata nel punto T_1;

    - quando Achille avrà raggiunto il punto T_1 la tartaruga si sarà spostata nel punto T_2;

    - nel balzo successivo Achille si troverà nel punto T_2, ma la tartaruga si sarà spostata nel punto T_3, e così via...

    La gara prosegue quindi in questo modo: Achille fa un balzo per raggiungere il punto in cui si trova la tartaruga, ma nel frattempo questa si è spostata un po' più avanti.

     

    Achille e la tartaruga

     

    In definitiva Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga. Per raggiungerla infatti dovrebbe compiere un numero infinito di balzi, in modo da coprire la distanza che dopo ogni balzo lo separa della tartaruga; sebbene la distanza sia sempre più piccola, non sarà mai nulla.

    Soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga

    La soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga segue dal fatto che la somma di un numero infinito di addendi può dare come risultato un numero finito.

    Ciò è facilmente dimostrabile con gli strumenti dell'Analisi Matematica di cui disponiamo, ma questo risultato non era affatto intuibile nel V secolo avanti Cristo, quando Zenone formulò il celeberrimo paradosso.

    Chiarito ciò, per dimostrare che effettivamente Achille riesce a raggiungere la tartaruga possiamo utilizzare dati numerici. Supponiamo che il vantaggio iniziale della tartaruga sia di 10 metri, che Achille percorra 10 metri al secondo e che la tartaruga percorra solo 1 metro al secondo.

    Assumendo che la posizione iniziale di Achille sia A_0=0 e che quella della tartaruga sia T_0=10 \mbox{ m}:

    - dopo 1 secondo Achille sarà nella posizione T_0, e in quel lasso di tempo la tartaruga avrà percorso 1 metro portandosi nella posizione T_1;

    - per raggiungere la posizione T_1 Achille impiegherà 0,1 secondi e nel frattempo la tartaruga avrà percorso 0,1 metri arrivando in T_2;

    - per portarsi in posizione T_2 Achille impiegherà 0,01 secondi e in questo lasso di tempo la tartaruga sarà nella posizione T_3.

    Ecco la situazione riassunta in una tabella

     

    Percorso di Achille

    Tempo

    Distanza

    Dalla posizione A0 alla posizione T0

    1 secondo

    10 metri

    Dalla posizione T0 alla posizione T1

    0,1 secondo

    1 metro

    Dalla posizione T1 alla posizione T2

    0,01 secondo

    0,1 metri

    Dalla posizione T2 alla posizione T3

    0,001 secondo

    0,01 metri

    .....

    .....

    .....

    Dalla posizione Tk alla posizione Tk+1

    10-(k+1) secondi

    10-k metri

     

    Se vogliamo sapere dopo quale distanza Achille raggiunge la tartaruga basta sommare gli infiniti termini che compaiono nella terza colonna, ossia calcolare la somma della serie

    10 + \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n

    Osserviamo che

    \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n

    è una serie geometrica di ragione q=\frac{1}{10}, dunque la sua somma è finita e vale \frac{1}{1-q}

    \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{10}{9}

    In definitiva Achille raggiunge la tartaruga dopo aver percorso

    \left[10 + \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n\right] \mbox{ m} = \left(10+\frac{10}{9}\right) \mbox{ m} = \frac{100}{9} \mbox{ m} \simeq 11,1 \mbox{ m}

    ***

    Per sapere cos'è un paradosso e per leggerne altri esempi e soluzioni vi rimandiamo alla pagina del link.

    Risposta di Galois
 
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