Paradosso di Achille e la tartaruga

Achille e la tartaruga è uno tra i più famosi paradossi di Zenone e viene spesso usato per introdurre il concetto matematico di somma di infiniti numeri; non a caso la soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga risiede proprio nel fatto che la somma di infiniti addendi può restituire un numero finito.

Formulazione del paradosso di Achille e la tartaruga

Il piè veloce Achille e una tartaruga si sfidano in una gara di corsa. Se alla tartaruga viene dato un vantaggio iniziale, allora Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga.

Uno dei motivi per cui si ha difficoltà nel comprendere tale paradosso è che si presta poca attenzione al suo enunciato; badate bene, infatti, che l'intento di Achille è quello di raggiungere la tartaruga e non quello di superarla.

Chiarito ciò, per fissare le idee diciamo il punto in cui parte Achille e il punto in cui parte la tartaruga.

- Nel tempo che Achille impiega per raggiungere il punto , la tartaruga si sarà spostata nel punto ;

- quando Achille avrà raggiunto il punto la tartaruga si sarà spostata nel punto ;

- nel balzo successivo Achille si troverà nel punto , ma la tartaruga si sarà spostata nel punto , e così via...

La gara prosegue quindi in questo modo: Achille fa un balzo per raggiungere il punto in cui si trova la tartaruga, ma nel frattempo questa si è spostata un po' più avanti.

In definitiva Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga. Per raggiungerla infatti dovrebbe compiere un numero infinito di balzi, in modo da coprire la distanza che dopo ogni balzo lo separa della tartaruga; sebbene la distanza sia sempre più piccola, non sarà mai nulla.

Soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga

La soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga segue dal fatto che la somma di un numero infinito di addendi può dare come risultato un numero finito.

Ciò è facilmente dimostrabile con gli strumenti dell'Analisi Matematica di cui disponiamo, ma questo risultato non era affatto intuibile nel V secolo avanti Cristo, quando Zenone formulò il celeberrimo paradosso.

Chiarito ciò, per dimostrare che effettivamente Achille riesce a raggiungere la tartaruga possiamo utilizzare dati numerici. Supponiamo che il vantaggio iniziale della tartaruga sia di 10 metri, che Achille percorra 10 metri al secondo e che la tartaruga percorra solo 1 metro al secondo.

Assumendo che la posizione iniziale di Achille sia e che quella della tartaruga sia :

- dopo 1 secondo Achille sarà nella posizione , e in quel lasso di tempo la tartaruga avrà percorso 1 metro portandosi nella posizione ;

- per raggiungere la posizione Achille impiegherà 0,1 secondi e nel frattempo la tartaruga avrà percorso 0,1 metri arrivando in ;

- per portarsi in posizione Achille impiegherà 0,01 secondi e in questo lasso di tempo la tartaruga sarà nella posizione .

Ecco la situazione riassunta in una tabella

Se vogliamo sapere dopo quale distanza Achille raggiunge la tartaruga basta sommare gli infiniti termini che compaiono nella terza colonna, ossia calcolare la somma della serie

Osserviamo che

è una serie geometrica di ragione , dunque la sua somma è finita e vale

In definitiva Achille raggiunge la tartaruga dopo aver percorso

***

Per sapere cos'è un paradosso e per leggerne altri esempi e soluzioni vi rimandiamo alla pagina del link.