Soluzioni
  • Monotono è un aggettivo della lingua italiana che si usa per descrivere un evento senza variazioni o comunque tale da ripetersi a intervalli regolari. Ad esempio, un lavoro monotono è un tipo di lavoro in cui si svolgono sempre le stesse mansioni; un discorso è monotono se si ripetono sempre le stesse cose; un uomo monotono è una persona che fa sempre le stesse cose.

    In Matematica, il termine monotono si usa in riferimento alle funzioni e il suo significato non si discosta molto dall'accezione che ha nella lingua italiana. Una funzione infatti si dice monotona nel suo dominio, o in un intervallo contenuto in esso, se si mantiene sempre crescente o sempre decrescente.

    Volendo essere più precisi, si distinguono quattro tipi di monotonia introducendo le nozioni di funzione monotona (crescente o decrescente) in senso stretto e funzione monotona (crescente o decrescente) in senso lato.

    Funzione monotona in senso stretto

    Sia y=f(x) una funzione e sia I un intervallo contenuto nel suo dominio, eventualmente coincidente col dominio stesso.

    Si dice che y=f(x) è una funzione monotona in senso stretto in I se la funzione è strettamente crescente (cresce e basta) o se è strettamente decrescente (decresce e basta).

    In simboli:

    - y=f(x) è monotona strettamente crescente se f(x_1)<f(x_2) per ogni x_1,x_2\in I tali che x_1<x_2;

    - y=f(x) è monotona strettamente decrescente se f(x_1)>f(x_2) per ogni x_1,x_2\in I tali che x_1<x_2.

    Ad esempio, la funzione identità y=x e la funzione y=-x sono due funzioni monotone in senso stretto su tutto il dominio. Tuttavia y=x è una funzione strettamente crescente, mentre y=-x è strettamente decrescente.

     

    Funzioni monotone in senso stretto

     

    Funzione monotona in senso lato

    Se y=f(x) è una funzione e I è un intervallo impropriamente contenuto nel suo dominio, si dice che y=f(x) è una funzione monotona in senso lato in I se la funzione è non decrescente (cresce o resta uguale), oppure è non crescente (decresce o resta uguale).

    In simboli:

    - y=f(x) è monotona crescente in senso lato se f(x_1) \le f(x_2) per ogni x_1,x_2\in I tali che x_1<x_2;

    - y=f(x) è monotona decrescente in senso lato se f(x_1) \ge f(x_2) per ogni x_1,x_2\in I tali che x_1<x_2.

    Per fissare le idee potete osservare i due grafici di funzione riportati nell'immagine seguente; il primo è il grafico di una funzione non decrescente su tutto il dominio, il secondo di una funzione non crescente su tutto il dominio.

     

    Funzioni monotone in senso lato

     

    Per tutti gli approfondimenti del caso e per vedere altri esempi vi rimandiamo alle nostre lezioni su funzione crescente, funzione decrescente e sulla monotonia di una funzione.

    Risposta di Galois
 
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