Soluzioni
  • L'area del triangolo rettangolo si può calcolare moltiplicando tra loro le misure dei due cateti e dividendo il risultato per 2, oppure dividendo per 2 il prodotto tra le misure dell'ipotenusa e dell'altezza del triangolo rettangolo.

     

    Area triangolo rettangolo

    Area triangolo rettangolo = (c1 × c2) / 2 = (i × h) / 2

     

    Formule per l'area del triangolo rettangolo

    Nella seguente tabella abbiamo riportato le formule per l'area del triangolo rettangolo, dove abbiamo indicato con S l'area, con c_1 il cateto minore, con c_2 il cateto maggiore, con i l'ipotenusa e con h l'altezza relativa all'ipotenusa.

     

    Area triangolo rettangolo con i due cateti

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    Area triangolo rettangolo con ipotenusa e altezza

    S=\frac{i \times h}{2}

     

    Per tutte le formule del triangolo rettangolo, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo al formulario dell'omonimo link.

    Esercizi svolti sull'area del triangolo rettangolo

    Per calcolare l'area di un triangolo rettangolo dobbiamo ricavare alle misure dei due cateti, oppure le misure di ipotenusa e altezza, usando i dati forniti dal testo del problema. Successivamente applicheremo una delle due formule elencate.

    Qui di seguito analizziamo alcune tra le tipologie di esercizi più frequenti.

    Calcolo area triangolo rettangolo con i cateti

    Se sono note le misure dei due cateti, per trovare l'area è sufficiente calcolare il semiprodotto tra la lunghezza del cateto minore e la lunghezza del cateto maggiore:

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    Esempio

    I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 6 cm e 10 cm. Calcolare l'area del triangolo.

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}=\frac{(6 \mbox{ cm}) \times (10 \mbox{ cm})}{2} = \frac{60 \mbox{ cm}^2}{2}=30 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area triangolo rettangolo con cateto e ipotenusa

    Dal teorema di Pitagora sappiamo che il quadrato della misura dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti

    i^2=c_1^2+c_2^2

    Se il problema fornisce la misura di un cateto e la misura dell'ipotenusa possiamo determinare la lunghezza dell'altro cateto invertendo la relazione precedente in favore del cateto incognito

    \\ c_1=\sqrt{i^2-c_2^2} \\ \\ c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}

    per poi calcolare l'area con la relativa formula

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    Esempio

    Calcolare l'area di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto minore e l'ipotenusa misurano, rispettivamente, 3 cm e 5 cm.

    Calcoliamo la misura del cateto maggiore con il teorema di Pitagora

    \\ c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}=\sqrt{(5 \mbox{ cm})^2-(3 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2 - 9 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{16 \mbox{ cm}^2} = 4 \mbox{ cm}

    Possiamo quindi determinare l'area

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2} = \frac{(3 \mbox{ cm}) \times (4 \mbox{ cm})}{2} = \frac{12 \mbox{ cm}^2}{2}=6\mbox{ cm}^2

    Calcolo area triangolo rettangolo con ipotenusa e altezza

    Con ipotenusa e altezza si può deteminare l'area in un solo passaggio; è infatti sufficiente calcolare il semiprodotto tra le loro misure.

    S=\frac{i \times h}{2}

    Esempio

    L'altezza di un triangolo rettangolo è di 7,5 metri e l'ipotenusa misura 16 metri. Quant'è la sua area?

    S=\frac{i \times h}{2} = \frac{(16 \mbox{ m}) \times (7,5 \mbox{ m})}{2} = \frac{120 \mbox{ m}^2}{2} = 60 \mbox{ m}^2

    Calcolo area triangolo rettangolo con proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

    Indicate con p_1 e p_2 le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa, la somma delle loro misure restituisce la lunghezza dell'ipotenusa

    i=p_1+p_2

    Con il secondo teorema di Euclide si può risalire alla misura dell'altezza del triangolo rettangolo estraendo la radice quadrata del prodotto delle proiezioni

    h=\sqrt{p_1 \times p_2}

    Dividendo per 2 il prodotto tra le misure di ipotenusa e altezza si ottiene l'area del triangolo

    S=\frac{i \times h}{2}

    Esempio

    Le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono di 16 metri e 9 metri. Calcolare l'area del triangolo.

    Determiniamo dapprima la misura dell'ipotenusa

    i=p_1+p_2=(9 \mbox{ m}) + (16 \mbox{ m}) = 25 \mbox{ m}

    per poi calcolare la lunghezza dell'altezza

    h=\sqrt{p_1 \times p_2} = \sqrt{(9 \mbox{ m}) \times (16 \mbox{ m})}=\sqrt{144 \mbox{ m}^2} = 12 \mbox{ m}

    Fatto ciò si può trovare l'area

    S=\frac{i \times h}{2} = \frac{(25 \mbox{ m}) \times (12 \mbox{ m})}{2} = \frac{300 \mbox{ m}^2}{2} = 150 \mbox{ m}^2

    Calcolo area triangolo rettangolo con cateto e proiezione del cateto sull'ipotenusa

    Supponiamo di conoscere il cateto minore c_1 e la sua proiezione sull'ipotenusa p_1.

    Dal primo teorema di Euclide sappiamo che ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa

    i:c_1=c_1:p_1

    Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni calcoliamo la misura dell'ipotenusa

    i=\frac{c_1^2}{p_2}

    Successivamente troviamo la misura dell'altro cateto con il teorema di Pitagora

    c_2^2=\sqrt{i^2-c_1^2}

    e, infine, determiniamo l'area dividendo per 2 il prodotto tra le misure dei cateti

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    Si procede in modo del tutto analogo se sono note le misure del cateto maggiore c_2 e della sua proiezione sull'ipotenusa p_2.

    Esempio

    La proiezione del cateto minore sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è di 1,96 decimetri; calcolare l'area del triangolo sapendo che il cateto minore misura 7 dm.

    Determiniamo la misura dell'ipotenusa con il primo teorema di Euclide

    i=\frac{c_1^2}{p_1}=\frac{(7 \mbox{ dm})^2}{1,96 \mbox{ dm}} = \frac{49 \mbox{ dm}^2}{1,96 \mbox{ dm}}=25 \mbox{ dm}

    Con il teorema di Pitagora troviamo la misura del cateto maggiore

    \\ c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}=\sqrt{(25 \mbox{ dm})^2-(7 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{625 \mbox{ dm}^2 - 49 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{576 \mbox{ dm}^2} = 24 \mbox{ dm}

    Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per calcolare l'area

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2} = \frac{(7 \mbox{ dm}) \times (24 \mbox{ dm})}{2} = \frac{168 \mbox{ dm}^2}{2}=84\mbox{ dm}^2

    Calcolo area triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°

    In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60° si può risalire alle misure dei due cateti conoscendo la lunghezza di un solo lato, per poi calcolare l'area con la formula

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    Nella pagina dedicata al triangolo 30 60 90 trovate tutte le formule che consentono di risolvere questo tipo di triangolo.

    Esempio

    Calcolare l'area di un triangolo rettangolo avente un angolo acuto di 30° e il cateto maggiore di 8√3 cm.

    In un triangolo 30 60 90 la misura del cateto minore si ricava dividendo la lunghezza del cateto maggiore per la radice quadrata di 3

    c_1=\frac{c_2}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3} \mbox{ cm}}{\sqrt{3}} = 8 \mbox{ cm}

    Essendo note le misure dei due cateti possiamo calcolare l'area

    S=\frac{c_1 \times c_2}{2} = \frac{(8 \mbox{ cm}) \times (8\sqrt{3} \mbox{ cm})}{2} = \frac{64\sqrt{3} \mbox{ cm}^2}{2}=32\sqrt{3}\mbox{ cm}^2

    Calcolo area triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45°

    Un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45° è un triangolo rettangolo isoscele, quindi i due cateti hanno la stessa lunghezza

    c_1=c_2=c

    Di conseguenza la sua area si ottiene dividendo per 2 il quadrato della misura di un cateto

    S=\frac{c^2}{2}

    Esempio

    Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono di 45°. Determinare la sua area sapendo che uno dei due cateti misura 6,4 cm.

    S=\frac{c^2}{2}=\frac{(6,4 \mbox{ cm})^2}{2}=\frac{40,96 \mbox{ cm}^2}{2}=20,48 \mbox{ cm}^2

    ***

    È tutto! Per altri esercizi svolti sul triangolo rettangolo - click!

    Risposta di Galois
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