Area triangolo rettangolo

L'area del triangolo rettangolo si calcola moltiplicando le misure dei due cateti e dividendo il risultato per 2, ossia come S=c₁·c₂/2, oppure dividendo per 2 il prodotto tra l'ipotenusa e l'altezza del triangolo rettangolo, ossia come S=i·h/2.

Area triangolo rettangolo = (c₁·c₂)/2 = (i·h)/2.

Formule per l'area del triangolo rettangolo

Nella seguente tabella abbiamo riportato le formule per l'area del triangolo rettangolo, dove abbiamo indicato con l'area, con il cateto minore, con il cateto maggiore, con l'ipotenusa e con l'altezza relativa all'ipotenusa.

Per tutte le formule del triangolo rettangolo, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo al formulario dell'omonimo link.

Esercizi svolti sull'area del triangolo rettangolo

Per calcolare l'area di un triangolo rettangolo dobbiamo ricavare alle misure dei due cateti, oppure le misure di ipotenusa e altezza, usando i dati forniti dal testo del problema. Successivamente applicheremo una delle due formule elencate.

Qui di seguito analizziamo alcune tra le tipologie di esercizi più frequenti.

Calcolo area triangolo rettangolo con i cateti

Se sono note le misure dei due cateti, per trovare l'area è sufficiente calcolare il semiprodotto tra la lunghezza del cateto minore e la lunghezza del cateto maggiore:

Esempio

I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 6 cm e 10 cm. Calcolare l'area del triangolo.

Calcolo area triangolo rettangolo con cateto e ipotenusa

Dal teorema di Pitagora sappiamo che il quadrato della misura dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti

Se il problema fornisce la misura di un cateto e la misura dell'ipotenusa possiamo determinare la lunghezza dell'altro cateto invertendo la relazione precedente in favore del cateto incognito

per poi calcolare l'area con la relativa formula

Esempio

Calcolare l'area di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto minore e l'ipotenusa misurano, rispettivamente, 3 cm e 5 cm.

Calcoliamo la misura del cateto maggiore con il teorema di Pitagora

Possiamo quindi determinare l'area

Calcolo area triangolo rettangolo con ipotenusa e altezza

Con ipotenusa e altezza si può determinare l'area in un solo passaggio; è infatti sufficiente calcolare il semiprodotto tra le loro misure.

Esempio

L'altezza di un triangolo rettangolo è di 7,5 metri e l'ipotenusa misura 16 metri. Quant'è la sua area?

Calcolo area triangolo rettangolo con proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

Indicate con e le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa, la somma delle loro misure restituisce la lunghezza dell'ipotenusa

Con il secondo teorema di Euclide si può risalire alla misura dell'altezza del triangolo rettangolo estraendo la radice quadrata del prodotto delle proiezioni

Dividendo per 2 il prodotto tra le misure di ipotenusa e altezza si ottiene l'area del triangolo

Esempio

Le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono di 16 metri e 9 metri. Calcolare l'area del triangolo.

Determiniamo dapprima la misura dell'ipotenusa

per poi calcolare la lunghezza dell'altezza

Fatto ciò si può trovare l'area

Calcolo area triangolo rettangolo con cateto e proiezione del cateto sull'ipotenusa

Supponiamo di conoscere il cateto minore e la sua proiezione sull'ipotenusa .

Dal primo teorema di Euclide sappiamo che ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni calcoliamo la misura dell'ipotenusa

Successivamente troviamo la misura dell'altro cateto con il teorema di Pitagora

e, infine, determiniamo l'area dividendo per 2 il prodotto tra le misure dei cateti

Si procede in modo del tutto analogo se sono note le misure del cateto maggiore e della sua proiezione sull'ipotenusa .

Esempio

La proiezione del cateto minore sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è di 1,96 decimetri; calcolare l'area del triangolo sapendo che il cateto minore misura 7 dm.

Determiniamo la misura dell'ipotenusa con il primo teorema di Euclide

Con il teorema di Pitagora troviamo la misura del cateto maggiore

Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per calcolare l'area

Calcolo area triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°

In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60° si può risalire alle misure dei due cateti conoscendo la lunghezza di un solo lato, per poi calcolare l'area con la formula

Nella pagina dedicata al triangolo 30 60 90 trovate tutte le formule che consentono di risolvere questo tipo di triangolo.

Esempio

Calcolare l'area di un triangolo rettangolo avente un angolo acuto di 30° e il cateto maggiore di 8√3 cm.

In un triangolo 30 60 90 la misura del cateto minore si ricava dividendo la lunghezza del cateto maggiore per la radice quadrata di 3

Essendo note le misure dei due cateti possiamo calcolare l'area

Calcolo area triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45°

Un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45° è un triangolo rettangolo isoscele, quindi i due cateti hanno la stessa lunghezza

Di conseguenza la sua area si ottiene dividendo per 2 il quadrato della misura di un cateto

Esempio

Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono di 45°. Determinare la sua area sapendo che uno dei due cateti misura 6,4 cm.

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