esercizio polinomio monico
Si determinino i primi p>0 per i quali il polinomio f=42x4+22x3-x+1 € Zp[x] risulti di grado 3 e monico. Negli anelli dei polinomi così individuati si decomponga f nel prodotto di fattori irriducibili.
Per la prima parte dell esercizio: per i valori p=3 e p=7 il polinomio è monico e di grado 3 (se ne manca qualcuno per favore indicatemelo).
Per la seconda parte devo dividere
42x4+22x3-x+1 con x-3??? e con x-7??? se non è così,come decompongo f?
grazie =)
Ciao Giulialg88, tra un attimo ti rispondo...
Risposta di Omega
Per trovare i valori di p per i quali il polinomio è di grado 3 e monico (coefficiente del termine di grado massimo pari a 1) dobbiamo richiedere che
![[42]_(p) = [0]_(p) ossia p|42](/images/joomlatex/c/a/ca96369eacde36ef8fd5c534e63f65d0.gif)
e che
quindi la prima condizione impone che p sia tra i divisori di 42. Le possibilità sono 1,2,3,7. Tra questi, gli unici che realizzano la seconda condizione sono 3 e 7. La tua soluzione è corretta!
A questo punto, dobbiamo lavorare in Z3 e in Z7.
In Z3 il polinomio diventa
e gli zeri possono essere solamente tra 0,1,2. Nessuno di questi è radice del polinomio, che quindi è irriducibile (se fosse riducibile, essendo di grado 3, dovrebbe esserci almeno un polinomio che lo divide).
In Z7 invece il polinomio diventa
e anche qui vale lo stesso ragionamento di prima, se non fosse che x=2 è uno zero del polinomio. Dunque
effettuando la divisione, si trova che
Ora controlliamo se ci sono zeri per il polinomio di grado 2....non ce ne sono. Abbiamo finito!
Namasté - Agente 
Risposta di Omega
non risco a capire perchè il polinomio trasformato in Z3 e in Z7 viene così, x in Z3 rimane x ..no?
a me verrebbe: x3-x-1 e così anche in Z7 
e poi non ho capito come trovare gli zeri del polinomio... devo dividere il polinomio per tutti i valori da 0 a 2(in Z3)(es divido per x-2) e da 0 a 6 in Z7 e vedere quando il resto viene uguale a 0?
Risposta di Giulialg88
Per quanto riguarda la prima domanda: è quel -1 che moltiplica x che fa la differenza. Infatti -1 non è un intero compreso tra 0 e 6, oppure tra 0 e tre, a seconda dei casi.
Per trovare gli zeri del polinomio, devi semplicemente sostituire i valori dell'anello, che sono in numero finito, quindi, per dirla brutta, li puoi provare tutti. Li sostituisci direttamente nell'espressione e controlli se annullano il polinomio oppure no.
Se ne trovi uno, sia esso x0, che annulla il polinomio, allora sai automaticamente (teorema) che x-x0 divide il polinomio. E quindi effettui la divisione...
Risposta di Omega
quindi (scusa se insisto su questa cosa ma voglio essere sicura di aver capito) faccio i procedimenti solo per Z3 per vedere se ho capito...
provo con lo 0: 0+0+1=1 1 non è multiplo di 3
ora con 1:1+2+1=4 non è multiplo di 3
con 2: 8+4+1=13 non è multiplo di 3
mentre in Z7 se provo col valore 2 esce come risultato 21 che è multiplo di 7
è giusto?
Risposta di Giulialg88
Esattamente!
Risposta di Omega