Soluzioni
  • Ciao Giulialg88, tra un attimo ti rispondo...

    Risposta di Omega
  • Per trovare i valori di p per i quali il polinomio è di grado 3 e monico (coefficiente del termine di grado massimo pari a 1) dobbiamo richiedere che

    [42]_{p}=[0]_{p}\mbox{ ossia }p|42

    e che

    22=pq+1

    quindi la prima condizione impone che p sia tra i divisori di 42. Le possibilità sono 1,2,3,7. Tra questi, gli unici che realizzano la seconda condizione sono 3 e 7. La tua soluzione è corretta!

    A questo punto, dobbiamo lavorare in Z3 e in Z7.

    In Z3 il polinomio diventa

    P_{3}(x)=x^3+2x+1

    e gli zeri possono essere solamente tra 0,1,2. Nessuno di questi è radice del polinomio, che quindi è irriducibile (se fosse riducibile, essendo di grado 3, dovrebbe esserci almeno un polinomio che lo divide).

    In Z7 invece il polinomio diventa

    P_{7}(x)=x^3+6x+1

    e anche qui vale lo stesso ragionamento di prima, se non fosse che x=2 è uno zero del polinomio. Dunque

    x-2\mbox{ }|\mbox{ }P_{7}(x)

    effettuando la divisione, si trova che

    P_{7}(x)=(x-2)(x^2+2x+3)

    Ora controlliamo se ci sono zeri per il polinomio di grado 2....non ce ne sono. Abbiamo finito!

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • non risco a capire perchè il polinomio trasformato in Z3 e in Z7 viene così, x in Z3 rimane x ..no?

    a me verrebbe: x3-x-1 e così anche in Z7 Frown e poi non ho capito come trovare gli zeri del polinomio... devo dividere il polinomio per tutti i valori da 0 a 2(in Z3)(es divido per x-2) e da 0 a 6 in Z7 e vedere quando il resto viene uguale a 0?

    Risposta di Giulialg88
  • Per quanto riguarda la prima domanda: è quel -1 che moltiplica x che fa la differenza. Infatti -1 non è un intero compreso tra 0 e 6, oppure tra 0 e tre, a seconda dei casi.

    Per trovare gli zeri del polinomio, devi semplicemente sostituire i valori dell'anello, che sono in numero finito, quindi, per dirla brutta, li puoi provare tutti. Li sostituisci direttamente nell'espressione e controlli se annullano il polinomio oppure no.

    Se ne trovi uno, sia esso x0, che annulla il polinomio, allora sai automaticamente (teorema) che x-x0 divide il polinomio. E quindi effettui la divisione...

    Risposta di Omega
  • quindi (scusa se insisto su questa cosa ma voglio essere sicura di aver capito) faccio i procedimenti solo per Z3 per vedere se ho capito...

    provo con lo 0: 0+0+1=1 1 non è multiplo di 3

    ora con 1:1+2+1=4 non è multiplo di 3

    con 2: 8+4+1=13 non è multiplo di 3 

    mentre in Z7 se provo col valore 2 esce come risultato 21 che è multiplo di 7

    è giusto?

    Risposta di Giulialg88
  • Esattamente!

    Risposta di Omega
 
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