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  • Col termine commensurabile ci si riferisce a una proprietà che riguarda le misure di due grandezze omogenee di natura geometrica. Per cogliere a pieno il significato di commensurabile occorre quindi ricordare cos'è una grandezza e quando due grandezze si dicono omogenee.

    Grandezze e grandezze omogenee

    In Matematica con la parola grandezza si intende una proprietà di una figura geometrica che può essere misurata. Sono esempi di grandezze: la lunghezza di un segmento, l'ampiezza di un angolo, l'area di una figura piana, il volume di un solido.

    Diciamo in particolare che due grandezze sono omogenee se hanno la stessa dimensione, cioè se si possono esprimere mediante la stessa unità di misura. Ad esempio la lunghezza di un segmento e l'altezza di un solido sono due grandezze omogenee, infatti entrambe si possono esprimere con una stessa unità di misura della lunghezza.

    Di contro, l'area di un quadrato e il volume di un cono non sono grandezze omogenee, infatti l'area si esprime in metri quadri o in altre misure di superficie, che non possono essere usate per esprimere il volume.

    Grandezze commensurabili

    Si dicono grandezze commensurabili due grandezze omogenee il cui rapporto è un numero razionale.

    In simboli, se A e B sono due grandezze commensurabili, allora

    \frac{A}{B} \in \mathbb{Q}

    Esempi di grandezze commensurabili

    1) Fissata un'unità di misura u consideriamo due segmenti: a avente una lunghezza pari a 3u e b con una lunghezza di 5u.

     

    Grandezze commensurabili

     

    Il loro rapporto è un numero razionale

    \frac{a}{b}=\frac{3u}{5u}=\frac{3}{5}

    e quindi sono due grandezze commensurabili.

    2) In un triangolo rettangolo avente gli angoli acuti ampi 30° e 60° le misure di ipotenusa e cateto minore sono commensurabili.

    Basta infatti osservare che in un triangolo 30 60 90 l'ipotenusa i è il doppio del cateto minore c_1, ossia

    i = 2c_1

    Di conseguenza, il rapporto tra ipotenusa e cateto minore è

    \frac{i}{c_1} = \frac{2c_1}{c_1} = 2

    che è un numero naturale e, quindi, un numero razionale.

    3) Il volume di una sfera e il volume del cilindro circoscritto alla sfera sono commensurabili.

    Per dimostrarlo basta riportare la formula per il calcolo del volume di una sfera di raggio r

    V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi r^3

    e osservare che un cilindro a essa circoscritto avrà il raggio del cerchio di base congruente al raggio della sfera, e l'altezza congruente al doppio del raggio.

    Dalla formula del volume del cilindro si ottiene

    V_{cilindro}=\pi r^2 h = \pi \cdot r^2 \cdot 2r = 2 \pi r^3

    Calcolando il rapporto tra i due volumi otteniamo un numero razionale, quindi le due grandezze sono commensurabili.

    \frac{V_{sfera}}{V_{cilindro}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2 \pi r^3} = \frac{2}{3} \in \mathbb{Q}

    Grandezze incommensurabili

    Due grandezze incommensurabili sono due grandezze omogenee il cui rapporto non è un numero razionale.

    In simboli, se A e B sono due grandezze incommensurabili, allora

    \frac{A}{B} \notin \mathbb{Q}

    Esempi di grandezze incommensurabili

    1) La lunghezza della diagonale di un quadrato e la misura del suo lato sono incommensurabili.

    La diagonale del quadrato divide lo stesso in due triangoli rettangoli isosceli aventi come cateti due lati del quadrato e come ipotenusa la diagonale.

    Detta L la misura del lato e D la misura della diagonale, applicando il teorema di Pitagora possiamo ricavare la misura della diagonale in funzione della misura del lato

    D=\sqrt{L^2+L^2}=\sqrt{2L^2} = \sqrt{2}L

    Il rapporto tra le due misure è

    \frac{D}{L}=\frac{\sqrt{2}L}{L}=\sqrt{2}

    Sapendo che la radice quadrata di 2 non è razionale possiamo concludere che le due grandezze sono incommensurabili.

    2) La lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro non sono commensurabili.

    Detto d il diametro della circonferenza, la sua lunghezza si ottiene dal prodotto tra la costante Pi Greco e la misura del diametro

    C= \pi d

    Il rapporto tra lunghezza della circonferenza e lunghezza del diametro restituisce \pi

    \frac{C}{d}=\frac{\pi d}{d}=\pi

    che è un numero irrazionale.

    3) Sono incommensurabili anche il volume di un cubo e il volume della sfera a esso circoscritta.

    Ormai dovreste aver capito come procedere, quindi lasciamo a voi il compito di dimostrarlo. ;)

    Risposta di Galois
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