Soluzioni
  • Generalmente con altezza del triangolo isoscele ci si riferisce all'altezza relativa alla base del triangolo isoscele, ossia al segmento che ha origine nel vertice opposto alla base e che cade perpendicolarmente su di essa.

    L'altezza di un triangolo isoscele è anche mediana, bisettrice e asse per il triangolo, quindi divide l'angolo opposto alla base in due angoli congruenti e divide la base in due segmenti congruenti.

    È bene però tener presente che un triangolo isoscele ha altre due altezze tra loro congruenti, che partono dai vertici della base e che cadono perpendicolarmente sui lati opposti; ciascuna di tali altezze è detta altezza relativa al lato obliquo.

     

    Altezza triangolo isoscele

    Altezza del triangolo isoscele H

    Altezza relativa al lato obliquo h

     

    Formule per l'altezza del triangolo isoscele

    Prima di elencare le formule per il calcolo dell'altezza del triangolo isoscele specifichiamo la corrispondenza tra i nomi e simboli che useremo: S è l'area, b la base, L il lato obliquo, H l'altezza relativa alla base, h l'altezza relativa al lato obliquo.

     

    Altezza triangolo isoscele con area e base

    H=\frac{2S}{b}

    Altezza triangolo isoscele con base e lato obliquo

    H=\sqrt{L^2-\frac{b^2}{4}}

    Altezza relativa al lato obliquo di un triangolo isoscele con area e lato obliquo

    h=\frac{2S}{L}

     

    Se vi occorre un elenco completo con tutte le formule del triangolo isoscele potete consultare il formulario del link. ;)

    Esercizi svolti sull'altezza del triangolo isoscele

    Passiamo agli esercizi e vediamo come si svolgono i problemi sul calcolo dell'altezza del triangolo isoscele a seconda dei dati disponibili. Ogni tipologia di esercizio è spiegata nel dettaglio e corredata da un esempio svolto.

    Calcolo altezza triangolo isoscele con area e base

    Per determinare la lunghezza dell'altezza dobbiamo dividere il doppio dell'area per la misura della base.

    H=\frac{2S}{b}

    Esempio

    Calcolare l'altezza di un triangolo isoscele sapendo che la base misura 8 metri e la sua area è di 41,6 metri quadrati.

    H=\frac{2S}{b}=\frac{2 \times (41,6 \mbox{ m}^2)}{8 \mbox{ m}} = \frac{83,2 \mbox{ m}^2}{8 \mbox{ m}} = 10,4 \mbox{ m}

    Calcolo altezza triangolo isoscele con base e lato obliquo

    L'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele lo divide in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno dei quali ha per ipotenusa il lato obliquo e come cateti l'altezza e la metà della base.

    Di conseguenza, per calcolare la misura dell'altezza disponendo delle misure di lato obliquo e base possiamo applicare il teorema di Pitagora

    H=\sqrt{L^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{L^2-\frac{b^2}{4}}

    Esempio

    Base e lato obliquo di un triangolo isoscele misurano, rispettivamente, 4,2 e 22,1 centimetri. Quanto misura l'altezza?

    \\ H=\sqrt{L^2-\frac{b^2}{4}}=\\ \\ \\ =\sqrt{(22,1 \mbox{ cm})^2 - \frac{(4,2 \mbox{ cm})^2}{4}} = \sqrt{488,41 \mbox{ cm}^2 - \frac{17,64 \mbox{ cm}^2}{4}} = \\ \\ \\ = \sqrt{488,41 \mbox{ cm}^2 - 4,41 \mbox{ cm}^2}=\sqrt{484 \mbox{ cm}^2}=22 \mbox{ cm}

    Calcolo altezza triangolo isoscele con perimetro

    Per trovare la misura dell'altezza, oltre al perimetro dobbiamo conoscere la lunghezza della base o la lunghezza del lato obliquo. Nello specifico:

    - conoscendo il perimetro e la misura della base si può individuare la misura del lato obliquo

    L=\frac{2p-b}{2}

    per poi calcolare la lunghezza dell'altezza con il teorema di Pitagora

    H=\sqrt{L^2-\frac{b^2}{4}}

    - disponendo del perimetro e della misura del lato obliquo si può determinare la misura della base

    b=2p-2L

    e, ancora una volta, calcolare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

    H=\sqrt{L^2-\frac{b^2}{4}}

    Esempio

    Il perimetro di un triangolo isoscele è di 162 decimetri e il suo lato obliquo misura 53 decimetri. Calcolare la lunghezza dell'altezza.

    Invertendo la formula per il calcolo del perimetro del triangolo isoscele

    2p=b+2L

    possiamo trovare la misura della base

    b=2p-2L = 162 \mbox{ dm} - 2 \times (53 \mbox{ dm}) = 162 \mbox{ dm} - 106 \mbox{ dm} = 56 \mbox{ cm}

    Dopodiché possiamo procedere al calcolo dell'altezza

    \\ H=\sqrt{L^2-\frac{b^2}{4}}=\\ \\ \\ =\sqrt{(53 \mbox{ dm})^2 - \frac{(56 \mbox{ dm})^2}{4}} = \sqrt{2809 \mbox{ dm}^2 - \frac{3136 \mbox{ dm}^2}{4}} = \\ \\ \\ = \sqrt{2809 \mbox{ dm}^2 - 784 \mbox{ dm}^2}=\sqrt{2025 \mbox{ dm}^2}=45 \mbox{ dm}

    Calcolo altezza relativa al lato obliquo di un triangolo isoscele

    Per calcolare la misura dell'altezza relativa al lato obliquo si deve dividere il doppio dell'area per la misura del lato obliquo

    h=\frac{2S}{L}

    L'area del triangolo e la misura del lato obliquo saranno fornite direttamente dal testo del problema, oppure verranno date informazioni utili per ricavarle.

    Esempio

    L'area di un triangolo isoscele è di 22,5 cm2 e il lato obliquo misura 9 cm. Determinare la misura dell'altezza relativa al lato obliquo.

    h=\frac{2S}{L}=\frac{2 \times (22,5 \mbox{ cm}^2)}{9 \mbox{ cm}} = \frac{45 \mbox{ cm}^2}{9\mbox{ cm}}= 5 \mbox{ cm}

    ***

    Ora tocca a voi! Continuate ad allenarvi con i nostri problemi svolti sul triangolo isoscele. ;)

    Risposta di Galois
 
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