Soluzioni
  • Si dice legge oraria un'equazione che descrive l'andamento della posizione di un punto materiale in movimento in funzione del tempo. Possiamo quindi definire legge oraria del moto una relazione matematica che lega il tempo alla posizione assunta dal corpo al variare del tempo.

    Leggi orarie del moto

    Qui di seguito abbiamo riportato le formule delle leggi orarie dei moti che si studiano in Cinematica, specificando il significato dei simboli che si usano per descriverle e mostrando un paio di esempi di applicazione.

    Per le formule inverse delle leggi orarie potete consultare le lezioni sui vari tipi di moto che verranno linkate di volta in volta.

    Se siete di fretta, ecco una tabella riepilogativa. ;)

     

    Tipo di moto

    Legge oraria

    Moto rettilineo uniforme

    s(t)=v(t-t_i)+s_i

    Moto rettilineo uniformemente accelerato

    s(t)=\frac{1}{2}a(t-t_i)^2+v_i(t-t_i)+s_i

    Moto circolare uniforme

    \theta(t)=\theta_i + \omega (t-t_i)

    Moto circolare uniformemente accelerato

    \theta(t)=\frac{1}{2}\alpha \left(t-t_i\right)^2+\omega_i(t-t_i)+\theta_i

    Moto armonico

    x(t)=A \cos(\omega t + \phi)

     

    Legge oraria del moto rettilineo uniforme

    Si dice che un corpo si muove di moto rettilineo uniforme quanto il moto avviene lungo una retta e con velocità costante nel tempo.

    Indicando con v la velocità (costante), con s(t) la posizione al tempo t, con t_i il tempo iniziale e con s_i la posizione iniziale, ossia la posizione al tempo t_i, la legge oraria del moto rettilineo uniforme è la seguente:

    s(t)=v(t-t_i)+s_i

    Se sono note la velocità, la posizione iniziale e il tempo iniziale, grazie alla legge oraria è possibile calcolare la posizione in qualsiasi istante di tempo.

    Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

    Il moto rettilineo uniformemente accelerato descrive il moto di un punto materiale che si muove lungo una retta con accelerazione costante.

    La sua legge oraria è la seguente:

    s(t)=\frac{1}{2}a(t-t_i)^2+v_i(t-t_i)+s_i

    dove a è l'accelerazione (costante), t_i il tempo iniziale, v_i la velocità iniziale, s_i la posizione iniziale, s(t) la posizione al tempo t.

    Legge oraria del moto circolare uniforme

    Si dice moto circolare uniforme il moto di un punto materiale che si muove lungo una traiettoria circolare ruotando con una velocità angolare costante. Viene descritto dalla seguente legge oraria:

    \theta(t)=\theta_i + \omega (t-t_i)

    in cui abbiamo indicato con t_i il tempo iniziale, con \theta_i la posizione iniziale in funzione dell'angolo (al tempo t_i), con \omega la velocità angolare (costante) e con \theta(t) la posizione al tempo t, sempre espressa in funzione dell'angolo e generalmente misurata in radianti.

    Legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato

    Il moto circolare uniformemente accelerato è il moto di un punto materiale che si muove lungo una circonferenza con un'accelerazione angolare costante.

    Quella riportata qui di seguito è la legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato, in cui abbiamo indicato con \alpha l'accelerazione angolare (costante), con t_i il tempo iniziale, con \omega_i la velocità angolare iniziale, con \theta_i la posizione iniziale in funzione dell'angolo e con \theta(t) la posizione angolare al tempo t.

    \theta(t)=\frac{1}{2}\alpha \left(t-t_i\right)^2+\omega_i(t-t_i)+\theta_i

    Legge oraria del moto armonico

    Consideriamo un punto materiale P che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza. Prende il nome di moto armonico il moto della proiezione su un diametro delle posizioni assunte dal punto P.

    La sua legge oraria è

    x(t)=A \cos(\omega t + \phi)

    in cui x(t) è la posizione al tempo t, A indica l'ampiezza del moto, cioè il massimo spostamento dal centro della circonferenza, \omega è la pulsazione e \phi è la costante di fase (o sfasamento), la quale dipende dalle condizioni iniziali.

    Esempi di applicazione delle leggi orarie

    1) Luca monta in bicicletta e dopo un tragitto iniziale di 100 metri raggiunge una velocità che mantiene costante per tutto il tragitto. Sapendo che la velocità raggiunta è di 7 m/s calcolare quanta strada ha percorso dopo 60 secondi dall'istante in cui inizia a muoversi con velocità costante.

    Il valore di velocità è

    v=7 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

    Come tempo iniziale possiamo assumere

    t_i = 0

    Come posizione iniziale dobbiamo considerare

    s_i= 100 \mbox{ m}

    in quanto dobbiamo considerare lo spazio percorso prima che il moto diventi rettilineo uniforme.

    Chiarito ciò, per calcolare quanta strada ha percorso dopo 60 secondi dal raggiungimento della velocità costante possiamo usare la legge oraria del moto rettilineo uniforme

    s(t)=v(t-t_i)+s_i

    Non ci resta che sostituire i dati:

    \\ s = \left(7 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \right ) \cdot (60 \mbox{ s} - 0 \mbox{ s}) + 100 \mbox{ m} = \\ \\ \\ = \left(7 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right )\cdot (60 \mbox{ s}) + 100 \mbox{ m} = 420 \mbox{ m} + 100 \mbox{ m} = 520 \mbox{ m}

    2) Un'auto sta viaggiando in un'autostrada a una velocità di 28 m/s e accelera per effettuare un sorpasso. Sapendo che l'accelerazione è costante ed è pari a 5 m/s2, e che il sorpasso dura 10 secondi, calcolare quanta strada percorre l'auto durante il sorpasso.

    Scegliamo un sistema di riferimento in cui la posizione iniziale è uguale a zero

    s_i=0

    e che corrisponde al punto in cui l'auto si sposta sulla corsia di sorpasso e ha inizio il moto rettilineo uniformemente accelerato, con un'accelerazione costante

    a= 5 \ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}^2}

    e una velocità iniziale

    v_i= 28 \ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

    Come tempo iniziale possiamo assumere

    t_i=0

    Per calcolare lo spazio percorso durante i 10 secondi di sorpasso possiamo usare la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.

    \\ s=\frac{1}{2}a(t-t_i)^2+v_i(t-t_i)+s_i = \\ \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(5 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (10 \mbox{ s})^2 + 28 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot (10 \mbox{ s}) = \\ \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(5 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (100 \mbox{ s}^2) + 280 \mbox{ m} = \\ \\ \\ = 250 \mbox{ m} + 280 \mbox{ m} = 530 \mbox{ m}

    ***

    Con questo è tutto! Per un formulario di Cinematica, con tutte le formule utili per risolvere gli esercizi, vi rimandiamo alla pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
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