Legge oraria

Cos'è una legge oraria? Oltre a scrivere la definizione di legge oraria potreste dirmi quali sono le leggi orarie dei moti che si studiano in Fisica (rettilineo uniforme, rettilineo uniformemente accelerato, circolare uniforme, circolare uniformemente accelerato e moto armonico), analizzarle una alla volta e mostrarmi qualche esempio?

Domanda di FAQ

Soluzioni

Si dice legge oraria un'equazione che descrive l'andamento della posizione di un punto materiale in movimento in funzione del tempo. Possiamo quindi definire legge oraria del moto una relazione matematica che lega il tempo alla posizione assunta dal corpo al variare del tempo.
Leggi orarie del moto
Qui di seguito abbiamo riportato le formule delle leggi orarie dei moti che si studiano in Cinematica, specificando il significato dei simboli che si usano per descriverle e mostrando un paio di esempi di applicazione.
Per le formule inverse delle leggi orarie potete consultare le lezioni sui vari tipi di moto che verranno linkate di volta in volta.
Se siete di fretta, ecco una tabella riepilogativa. ;)

Tipo di moto
Legge oraria
Moto rettilineo uniforme
Moto rettilineo uniformemente accelerato
$s(t)=\frac{1}{2}a(t-t_i)^2+v_i(t-t_i)+s_i$
Moto circolare uniforme
$\theta(t)=\theta_i + \omega (t-t_i)$
Moto circolare uniformemente accelerato
$\theta(t)=\frac{1}{2}\alpha \left(t-t_i\right)^2+\omega_i(t-t_i)+\theta_i$
Moto armonico
$x(t)=A \cos(\omega t + \phi)$

Legge oraria del moto rettilineo uniforme
Si dice che un corpo si muove di moto rettilineo uniforme quanto il moto avviene lungo una retta e con velocità costante nel tempo.
Indicando con la velocità (costante), con la posizione al tempo , con il tempo iniziale e con la posizione iniziale, ossia la posizione al tempo , la legge oraria del moto rettilineo uniforme è la seguente:
Se sono note la velocità, la posizione iniziale e il tempo iniziale, grazie alla legge oraria è possibile calcolare la posizione in qualsiasi istante di tempo.
Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato
Il moto rettilineo uniformemente accelerato descrive il moto di un punto materiale che si muove lungo una retta con accelerazione costante.
La sua legge oraria è la seguente:
$s(t)=\frac{1}{2}a(t-t_i)^2+v_i(t-t_i)+s_i$
dove è l'accelerazione (costante), il tempo iniziale, la velocità iniziale, la posizione iniziale, la posizione al tempo .
Legge oraria del moto circolare uniforme
Si dice moto circolare uniforme il moto di un punto materiale che si muove lungo una traiettoria circolare ruotando con una velocità angolare costante. Viene descritto dalla seguente legge oraria:
$\theta(t)=\theta_i + \omega (t-t_i)$
in cui abbiamo indicato con il tempo iniziale, con $\theta_i$ la posizione iniziale in funzione dell'angolo (al tempo ), con $\omega$ la velocità angolare (costante) e con $\theta(t)$ la posizione al tempo , sempre espressa in funzione dell'angolo e generalmente misurata in radianti.
Legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato
Il moto circolare uniformemente accelerato è il moto di un punto materiale che si muove lungo una circonferenza con un'accelerazione angolare costante.
Quella riportata qui di seguito è la legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato, in cui abbiamo indicato con $\alpha$ l'accelerazione angolare (costante), con il tempo iniziale, con $\omega_i$ la velocità angolare iniziale, con $\theta_i$ la posizione iniziale in funzione dell'angolo e con $\theta(t)$ la posizione angolare al tempo .
$\theta(t)=\frac{1}{2}\alpha \left(t-t_i\right)^2+\omega_i(t-t_i)+\theta_i$
Legge oraria del moto armonico
Consideriamo un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza. Prende il nome di moto armonico il moto della proiezione su un diametro delle posizioni assunte dal punto .
La sua legge oraria è
$x(t)=A \cos(\omega t + \phi)$
in cui è la posizione al tempo , indica l'ampiezza del moto, cioè il massimo spostamento dal centro della circonferenza, $\omega$ è la pulsazione e $\phi$ è la costante di fase (o sfasamento), la quale dipende dalle condizioni iniziali.
Esempi di applicazione delle leggi orarie
1) Luca monta in bicicletta e dopo un tragitto iniziale di 100 metri raggiunge una velocità che mantiene costante per tutto il tragitto. Sapendo che la velocità raggiunta è di 7 m/s calcolare quanta strada ha percorso dopo 60 secondi dall'istante in cui inizia a muoversi con velocità costante.
Il valore di velocità è
$v=7 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}$
Come tempo iniziale possiamo assumere
Come posizione iniziale dobbiamo considerare
$s_i= 100 \mbox{ m}$
in quanto dobbiamo considerare lo spazio percorso prima che il moto diventi rettilineo uniforme.
Chiarito ciò, per calcolare quanta strada ha percorso dopo 60 secondi dal raggiungimento della velocità costante possiamo usare la legge oraria del moto rettilineo uniforme
Non ci resta che sostituire i dati:
$\\ s = \left(7 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \right ) \cdot (60 \mbox{ s} - 0 \mbox{ s}) + 100 \mbox{ m} = \\ \\ \\ = \left(7 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right )\cdot (60 \mbox{ s}) + 100 \mbox{ m} = 420 \mbox{ m} + 100 \mbox{ m} = 520 \mbox{ m}$
2) Un'auto sta viaggiando in un'autostrada a una velocità di 28 m/s e accelera per effettuare un sorpasso. Sapendo che l'accelerazione è costante ed è pari a 5 m/s², e che il sorpasso dura 10 secondi, calcolare quanta strada percorre l'auto durante il sorpasso.
Scegliamo un sistema di riferimento in cui la posizione iniziale è uguale a zero
e che corrisponde al punto in cui l'auto si sposta sulla corsia di sorpasso e ha inizio il moto rettilineo uniformemente accelerato, con un'accelerazione costante
$a= 5 \ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}^2}$
e una velocità iniziale
$v_i= 28 \ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}$
Come tempo iniziale possiamo assumere
Per calcolare lo spazio percorso durante i 10 secondi di sorpasso possiamo usare la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.
$\\ s=\frac{1}{2}a(t-t_i)^2+v_i(t-t_i)+s_i = \\ \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(5 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (10 \mbox{ s})^2 + 28 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot (10 \mbox{ s}) = \\ \\ \\ = \frac{1}{2} \cdot \left(5 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (100 \mbox{ s}^2) + 280 \mbox{ m} = \\ \\ \\ = 250 \mbox{ m} + 280 \mbox{ m} = 530 \mbox{ m}$
***
Con questo è tutto! Per un formulario di Cinematica, con tutte le formule utili per risolvere gli esercizi, vi rimandiamo alla pagina del link. ;)
Risposta di Galois

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Tipo di moto	Legge oraria
Moto rettilineo uniforme
Moto rettilineo uniformemente accelerato	$s(t)=\frac{1}{2}a(t-t_i)^2+v_i(t-t_i)+s_i$
Moto circolare uniforme	$\theta(t)=\theta_i + \omega (t-t_i)$
Moto circolare uniformemente accelerato	$\theta(t)=\frac{1}{2}\alpha \left(t-t_i\right)^2+\omega_i(t-t_i)+\theta_i$
Moto armonico	$x(t)=A \cos(\omega t + \phi)$