Soluzioni
  • L'area del triangolo isoscele è la misura della superficie della porzione di piano racchiusa tra i lati del triangolo isoscele, e si calcola dividendo per 2 il prodotto tra la misura di uno dei lati e la misura dell'altezza relativa al lato scelto.

     

    Area triangolo isoscele

    Area triangolo isoscele = (b×H)/2 = (L×h)/2

     

    Formule per l'area del triangolo isoscele

    Prima di elencare le formule per il calcolo dell'area del triangolo isoscele specifichiamo la corrispondenza tra i nomi e i simboli che useremo: A è l'area del triangolo, b la base, H l'altezza relativa alla base, L uno dei due lati obliqui (non importa quale, in quanto congruenti), h l'altezza relativa a uno dei due lati obliqui.

     

    Area triangolo isoscele con base e altezza relativa alla base

    S=\frac{b \times H}{2}

    Area triangolo isoscele con lato obliquo e altezza ad esso relativa

    S=\frac{L \times h}{2}

     

    Per le formule inverse dell'area del triangolo isoscele e per leggerne tutte le proprietà vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sull'area del triangolo isoscele

    Vediamo come si risolvono le principali tipologie di esercizi sull'area del triangolo isoscele. Ogni problema è stato spiegato e svolto nel dettaglio, con tutti i commenti e i calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

    Calcolo area triangolo isoscele con base e altezza relativa alla base

    Se sono note le misure della base e dell'altezza relativa ad essa, l'area del triangolo si calcola come semiprodotto tra la misura della base e la misura dell'altezza

    S=\frac{b \times H}{2}

    Esempio

    Determinare l'area di un triangolo isoscele sapendo che base e altezza misurano rispettivamente 12 cm e 20 cm.

    S=\frac{b \times H}{2}=\frac{(12 \mbox{ cm}) \times (20 \mbox{ cm})}{2} = \frac{240 \mbox{ cm}^2}{2}=120 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area triangolo isoscele con lato obliquo e altezza relativa al lato obliquo

    Se disponiamo delle misure del lato obliquo e dell'altezza relativa ad essa, possiamo calcolare l'area moltiplicando tra loro le due misure e dividendo il risultato per 2

    S=\frac{L \times h}{2}

    Esempio

    Il lato obliquo di un triangolo isoscele misura 8 metri. Calcolare l'area sapendo che l'altezza relativa al lato obliquo è di 3 metri.

    S=\frac{L \times h}{2}=\frac{(8 \mbox{ m}) \times (3 \mbox{ m})}{2}=\frac{24 \mbox{ m}^2}{2} = 12 \mbox{ m}^2

    Calcolo area triangolo isoscele con lato obliquo e altezza relativa alla base

    L'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele lo divide in due triangoli rettangoli congruenti; ciascuno di tali triangoli ha come ipotenusa il lato obliquo e come cateti l'altezza relativa alla base e la metà della base.

    Se disponiamo delle misure del lato obliquo e dell'altezza, possiamo calcolare la metà della base applicando il teorema di Pitagora

    \frac{b}{2}=\sqrt{L^2-H^2}

    per poi determinare la misura della base

    b = 2 \times \frac{b}{2}

    e, infine, calcolare l'area con la relativa formula

    S=\frac{b \times H}{2}

    Esempio

    In un triangolo isoscele il lato obliquo è 5 decimetri mentre l'altezza relativa alla base misura 4 dm; calcolare l'area.

    Individuiamo la metà della base applicando il teorema di Pitagora

    \\ \frac{b}{2}=\sqrt{L^2-H^2}=\sqrt{(5 \mbox{ dm})^2 - (4 \mbox{ dm})^2}= \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ dm}^2 - 16 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{9 \mbox{ dm}^2}=3 \mbox{ dm}

    Determiniamo la misura della base

    b= 2 \times \frac{b}{2} = 2 \times (3 \mbox{ dm}) = 6 \mbox{ dm}

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare l'area

    S=\frac{b \times H}{2}=\frac{(6 \mbox{ dm}) \times (4 \mbox{ dm})}{2} = \frac{24 \mbox{ dm}^2}{2}=12 \mbox{ dm}^2

    Calcolo area triangolo isoscele con base e lato obliquo

    Per determinare l'area ci serve la misura dell'altezza, che possiamo trovare con il teorema di Pitagora

    H=\sqrt{L^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}

    dopodiché possiamo calcolare l'area come semiprodotto tra le misure di base e altezza

    S=\frac{b \times H}{2}

    Esempio

    Calcolare l'area di un triangolo isoscele sapendo che base e lato obliquo misurano, rispettivamente, 90 millimetri e 53 millimetri.

    Applichiamo il teorema di Pitagora per ricavare la misura dell'altezza del triangolo isoscele

    \\ H=\sqrt{L^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} = \\ \\ \\ =\sqrt{(53 \mbox{ mm})^2 - \left(\frac{90 \mbox{ mm}}{2}\right)^2} = \sqrt{(53 \mbox{ mm})^2 - (45 \mbox{ mm})^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{2809 \mbox{ mm}^2 - 2025 \mbox{ mm}^2} = \sqrt{784 \mbox{ mm}^2} = 28 \mbox{ mm}

    Possiamo infine ricavare l'area del triangolo

    S=\frac{b \times H}{2}=\frac{(90 \mbox{ mm}) \times (28 \mbox{ mm})}{2} = \frac{2520 \mbox{ mm}^2}{2}=1260 \mbox{ mm}^2

    Calcolo area triangolo isoscele con il perimetro

    Il solo perimetro non è sufficiente per calcolare l'area del triangolo isoscele. Sarà quindi il testo del problema a fornirci altri dati utili per individuare le misure di base e altezza relativa alla base, o di lato obliquo e altezza relativa al lato obliquo, per procedere poi al calcolo dell'area.

    Esempio

    Il perimetro di un triangolo isoscele è di 36 cm e il suo lato obliquo misura 13 cm. Calcolare l'area del triangolo.

    Dalla formula per il perimetro del triangolo isoscele

    2p=2L+b

    possiamo ricavare la misura della base

    b=2p - 2L = 36 \mbox{ dm} - 2 \times (13 \mbox{ dm}) = 36 \mbox{ dm} - 26 \mbox{ dm} = 10 \mbox{ dm}

    Conoscendo le misure di base e lato obliquo possiamo determinare l'altezza relativa alla base applicando il teorema di Pitagora, per poi calcolare l'area con la solita formula.

    \\ H=\sqrt{L^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} =\\ \\ \\= \sqrt{(13 \mbox{ cm})^2 - \left(\frac{10 \mbox{ cm}}{2}\right)^2} = \sqrt{(13 \mbox{ cm})^2 - (5 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{169 \mbox{ cm}^2 - 25 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{144 \mbox{ cm}^2} = 12 \mbox{ cm}\\ \\ \\ S=\frac{b \times H}{2}=\frac{(10 \mbox{ cm}) \times (12 \mbox{ cm})}{2} = \frac{120 \mbox{ cm}^2}{2}=60 \mbox{ cm}^2

    ***

    È tutto! Se siete alla ricerca di altri esercizi svolti sul triangolo isoscele - click!

    Risposta di Galois
 
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