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  • Si dicono funzioni trascendenti tutte le funzioni non algebriche, ossia tutte quelle funzioni la cui espressione analitica contiene espressioni logaritmiche, esponenziali o trigonometriche.

    Per cogliere a pieno la definizione di funzione trascendente è bene ricordare cos'è una funzione algebrica.

    Una funzione y=f(x) è detta funzione algebrica se è costruita attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni matematiche fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione), dell'elevamento a potenza e dell'estrazione di radice, tutte applicate alla variabile indipendente x.

    Sono esempi di funzioni algebriche:

    - le funzioni polinomiali;

    - le funzioni razionali;

    - le funzioni irrazionali il cui radicando è un polinomio o una frazione algebrica.

    \begin{array}{lll}f(x)=x^3+x+2 \ \ , & & f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1} \\ \\ \\ f(x)=\frac{x^2}{2}+3 \ \ , & & f(x)=\sqrt{x-1}+3x \end{array}

    Tutte le funzioni non algebriche si dicono funzioni trascendenti, come ad esempio:

    \begin{array}{lll}f(x)=\log_2(x-1) \ \ , & & f(x)=e^x+1 \\ \\ \\ f(x)=\sin(x) \ \ , & & f(x)=\frac{\sqrt{\log(x)+3x}}{x-1} \end{array}

    Classificazione delle funzioni trascendenti

    Una prima classificazione delle funzioni trascendenti riguarda il tipo di espressione che compare all'interno della funzione; in particolare, si distinguono le seguenti quattro famiglie:

    - funzioni trascendenti logaritmiche → la variabile indipendente compare solo nell'argomento di uno o più logaritmi;

    - funzioni trascendenti esponenziali → la variabile indipendente compare solo all'esponente;

    - funzioni trascendenti goniometriche → la variabile indipendente compare solo nell'argomento di una o più funzioni goniometriche;

    - funzioni trascendenti miste → l'espressione analitica contiene diverse tipologie di funzioni, di cui almeno una trascendente.

    Un'ulteriore classificazione prevede di suddividere le funzioni trascendenti in intere e fratte:

    - funzioni trascendenti intere → la variabile indipendente non compare in alcun denominatore;

    - funzioni trascendenti fratte → la variabile indipendente compare al denominatore. 

    Esempi di funzioni trascendenti

    f(x)=\log(x)-1 è una funzione trascendente logaritmica intera;

    f(x)=\frac{e^{2x}+1}{e^x} è una funzione trascendente esponenziale fratta;

    f(x)=\sin\left(\frac{x-3}{x+1}\right) è una funzione trascendente goniometrica fratta;

    f(x)=x+\log(x) è una funzione trascendente mista intera.

    Attenzione ai casi particolari

    1) La presenza di espressioni logaritmiche, esponenziali o goniometriche non comporta, necessariamente, che la funzione sia trascendente. Ne è un esempio

    f(x)=\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{x-1}

    Sebbene possa sembrare una funzione trascendente mista, è in realtà una funzione algebrica.

    Per la relazione fondamentale della Trigonometria risulta, infatti:

    \sin^(x)+\cos^2(x)=1

    quindi la precedente funzione è anche definita come

    f(x)=\frac{1}{x-1}

    2) Una funzione trascendente all'apparenza intera, potrebbe mascherare un denominatore contenente la variabile indipendente e quindi diventare una funzione trascendente fratta. Il più classico degli esempi è la funzione tangente

    f(x)=\tan(x)

    Per definizione, la tangente è il rapporto tra seno e coseno, quindi possiamo riscrivere la precedente funzione come

    f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

    che avendo la variabile x a denominatore è una funzione fratta e non più intera.

    ***

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    Risposta di Galois
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