Soluzioni
  • Si dice area della circonferenza la misura della superficie racchiusa della circonferenza, anche se in realtà si tratta di un'espressione impropria (sarebbe più corretto chiamarla area del cerchio). Si calcola come prodotto tra la costante Pi Greco (π) e il quadrato della misura del raggio.

     

    Area circonferenza

    Area circonferenza = πr2

    Formule per l'area della circonferenza

    Le formule che elencheremo tra un istante permettono di calcolare l'area della circonferenza in diversi modi, a seconda dei dati disponibili. In tabella abbiamo indicato con \pi la costante Pi Greco, con r la misura del raggio, con d la lunghezza del diametro, con A l'area e con 2p il perimetro (la lunghezza della circonferenza).

     

    Area della circonferenza con il raggio

    A=\pi r^2

    Area della circonferenza con il diametro

    A=\frac{\pi d^2}{4}

    Area della circonferenza con il perimetro

    A=\frac{(2p)^2}{4\pi}

     

    Come avrete modo di intuire nei seguenti esercizi svolti, non è assolutamente necessario imparare a memoria tutte e tre le formule. Per calcolare l'area di una circonferenza basta infatti risalire alla misura del raggio, che si può ricavare sia dalla misura del diametro sia dal perimetro.

    Per le formule inverse sull'area e per tutte le altre formule della circonferenza potete consultare il formulario del link.

    Esercizi svolti sull'area della circonferenza

    Passiamo in rassegna le principali tipologie di esercizi sull'area della circonferenza, studiando i vari metodi risolutivi e analizzando un esempio per tipo, con tutti i passaggi e i calcoli necessari per giungere alla soluzione.

    Prima di procedere ci teniamo a sottolineare che Pi Greco è un numero irrazionale e negli esercizi può rimanere indicato col simbolo (\pi), o essere sostituito col valore approssimato \pi \simeq 3,14.

    Calcolo area circonferenza con il raggio

    Se si conosce la misura del raggio, per trovare l'area basta moltiplicare Pi Greco per il quadrato del raggio.

    A=\pi r^2

    Esempio

    Il raggio di una circonferenza misura 2 metri; calcolare la sua area.

    A=\pi r^2 = \pi \times (2 \mbox{ m})^2 = \pi \times (4 \mbox{ m}^2) = 4\pi \mbox{ m}^2

    Calcolo area circonferenza con il diametro

    La formula diretta per trovare l'area di una circonferenza dal diametro prevede di dividere per 4 il prodotto tra Pi Greco e il quadrato della misura del diametro.

    A=\frac{\pi d^2}{4}

    Esempio

    Calcolare l'area di una circonferenza il cui diametro misura 24 centimetri.

    A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \times (24 \mbox{ cm})^2}{4} = \frac{\pi \times (576 \mbox{ cm}^2)}{4} = 144\pi \mbox{ cm}^2

    Sostituendo \pi con 3,14 si ottiene

    A=144\pi \mbox{ cm}^2 \simeq (144 \times 3,14) \mbox{ cm}^2 \simeq 452,16 \mbox{ cm}^2

    In alternativa possiamo determinare la misura del raggio dividendo il diametro per 2

    r=\frac{d}{2}=\frac{24 \mbox{ cm}}{2}=12 \mbox{ cm}

    e applicare la formula dell'area della circonferenza col raggio, giungendo allo stesso risultato

    A=\pi r^2 = \pi \times (12 \mbox{ cm})^2 = \pi \times (144 \mbox{ cm}^2) = 144\pi \mbox{ cm}^2

    Calcolo area circonferenza con il perimetro

    Per calcolare l'area di una circonferenza dal perimetro dobbiamo dividere il quadrato del perimetro per 4π.

    A=\frac{(2p)^2}{4\pi}

    Esempio

    Calcolare l'area di una circonferenza il cui perimetro è di 18,84 decimetri.

    A=\frac{(2p)^2}{4 \pi} \simeq \frac{(18,84 \mbox{ dm})^2}{4 \times 3,14} \simeq \frac{354,9456 \mbox{ dm}^2}{12,56}=28,26 \mbox{ dm}^2

    Un altro modo di risolvere l'esercizio sarebbe stato il seguente: invertendo la formula del perimetro della circonferenza

    2p=2 \pi r

    ricaviamo la misura del raggio

    r=\frac{2p}{2 \pi} \simeq \frac{18,84 \mbox{ dm}}{2 \times 3,14} \simeq \frac{18,84 \mbox{ dm}}{6,28} \simeq 3 \mbox{ dm}

    e, successivamente, l'area con la relativa formula

    A=\pi r^2 = \pi \times (3 \mbox{ dm})^2 = \pi \times (9 \mbox{ dm}^2) = 9\pi \mbox{ dm}^2 \simeq 28,26 \mbox{ dm}^2

    ***

    Con questo è tutto! Per altri problemi svolti sulla circonferenza con cui continuare ad allenarvi vi rimandiamo alla pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
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