Assioma di completezza

L'assioma di completezza, detto anche assioma di continuità, stabilisce che i numeri reali si susseguono con continuità, ossia che l'insieme R dei numeri reali è "privo di buchi".

L'assioma di completezza assume un ruolo fondamentale in Analisi Matematica, per diversi motivi:

- insieme ad altri assiomi e proprietà permette di dare una definizione assiomatica dell'insieme dei numeri reali, ossia darne una definizione rigorosa limitandosi a specificare le proprietà che lo caratterizzano;

- è l'unica proprietà che differenzia l'insieme R dei numeri reali dall'insieme Q dai numeri razionali;

- permette di mettere in relazione l'insieme dei numeri reali con i punti di una retta.

Enunciato dell'assioma di completezza

Se e sono due sottoinsiemi non vuoti dell'insieme , tali che per ogni e per ogni , allora esiste un elemento tale che

per ogni e per ogni

L'elemento è detto elemento separatore degli insiemi e e, in generale, non è unico.

Sebbene a una prima lettura possa sembrare di difficile comprensione, l'assioma di completezza è un enunciato di tipo esistenziale, ossia si limita ad assicurare l'esistenza di un elemento separatore tra due insiemi separati.

Per fissare le idee consideriamo i due insiemi

sono due insiemi separati, infatti per ogni e per ogni . Poiché la condizione è più forte rispetto ad , sussistono le ipotesi dell'assioma di completezza.

L'assioma di completezza assicura quindi l'esistenza di almeno un numero reale che si interpone tra gli elementi dell'insieme e gli elementi dell'insieme .

In questo caso gli elementi separatori sono infiniti, infatti ogni numero reale appartenente all'intervallo soddisfa la doppia disuaglianza .

Unicità dell'elemento separatore

Come risulta evidente dal precedente esempio, l'elemento separatore di cui parla l'assioma di completezza in generale non è unico, ma esistono due casi in cui lo è.

1) Se è un insieme non vuoto limitato superiormente e scegliamo come l'insieme dei maggioranti di , allora l'elemento separatore tra e è unico.

Ogni elemento separatore deve, infatti, soddisfare la relazione

per ogni e per ogni

La prima disuguaglianza ci dice che è un maggiorante per , quindi .

La seconda disuguaglianza , assieme al fatto che , ci permette di asserire che è il minimo dell'insieme .

Poichè il minimo di un insieme è unico, unico sarà l'elemento separatore.

2) In modo analogo si dimostra che se è un insieme non vuoto e limitato inferiormente e è l'insieme dei minoranti di allora il massimo dell'insieme è l'unico elemento separatore tra e .

3) [Caso generale] Possiamo riassumere i casi 1) e 2) asserendo che due insiemi contigui ammettono sempre un unico elemento separatore.

Assioma di completezza in Q

Nell'insieme dei numeri razionali non vale l'assioma di completezza e per convincersene basta considerare gli insiemi

Ogni elemento dell'insieme è minore di ogni elemento dell'insieme , quindi i due insiemi sono separati.

L'unico elemento separatore sarebbe , ma la radice quadrata di 2 non è un numero razionale, quindi non esiste alcun numero tale che per ogni e per ogni .

Ciò basta a concludere che l'assioma di completezza non vale nell'insieme e, tra l'altro, è l'unica caratteristica che distingue i due insiemi dei numeri reali e dei numeri razionali: è continuo, mentre non lo è.

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