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  • L'assioma di completezza, detto anche assioma di continuità, stabilisce che i numeri reali si susseguono con continuità, ossia che l'insieme R dei numeri reali è "privo di buchi".

    L'assioma di completezza assume un ruolo fondamentale in Analisi Matematica, per diversi motivi:

    - insieme ad altri assiomi e proprietà permette di dare una definizione assiomatica dell'insieme R dei numeri reali, ossia darne una definizione rigorosa limitandosi a specificare le proprietà che lo caratterizzano;

    - è l'unica proprietà che differenzia l'insieme R dei numeri reali dall'insieme Q dai numeri razionali;

    - permette di mettere in relazione l'insieme dei numeri reali con i punti di una retta.

    Enunciato dell'assioma di completezza

    Se A e B sono due sottoinsiemi non vuoti dell'insieme \mathbb{R}, tali che a \le b per ogni a \in A e per ogni b \in B, allora esiste un elemento c \in \mathbb{R} tale che

    a \le c \le b per ogni a \in A e per ogni b \in B

    L'elemento c è detto elemento separatore degli insiemi A e B e, in generale, non è unico.

    Sebbene a una prima lettura possa sembrare di difficile comprensione, l'assioma di completezza è un enunciato di tipo esistenziale, ossia si limita ad assicurare l'esistenza di un elemento separatore tra due insiemi separati.

    Per fissare le idee consideriamo i due insiemi

    \\ A=\{x \in \mathbb{R} \ : \ -5\le x \le 0\} \\ \\ B =\{x \in \mathbb{R} \ : \ 1 \le x \le 5\}

    A,B sono due insiemi separati, infatti a<b per ogni a \in A e per ogni b \in B. Poiché la condizione a<b è più forte rispetto ad a\leq b, sussistono le ipotesi dell'assioma di completezza.

    L'assioma di completezza assicura quindi l'esistenza di almeno un numero reale c che si interpone tra gli elementi dell'insieme A e gli elementi dell'insieme B.

    In questo caso gli elementi separatori sono infiniti, infatti ogni numero reale c appartenente all'intervallo [0,1] soddisfa la doppia disuaglianza a \le c \le b.

     

    Assioma di completezza

     

    Unicità dell'elemento separatore

    Come risulta evidente dal precedente esempio, l'elemento separatore di cui parla l'assioma di completezza in generale non è unico, ma esistono due casi in cui lo è.

    1) Se A è un insieme non vuoto limitato superiormente e scegliamo come B l'insieme dei maggioranti di A, allora l'elemento separatore c tra A e B è unico.

    Ogni elemento separatore deve, infatti, soddisfare la relazione

    a \le c \le b per ogni a \in A e per ogni b \in B

    La prima disuguaglianza (a \le c) ci dice che c è un maggiorante per A, quindi c \in B.

    La seconda disuguaglianza (c \le b), assieme al fatto che c \in B, ci permette di asserire che c è il minimo dell'insieme B.

    Poichè il minimo di un insieme è unico, unico sarà l'elemento separatore.

    2) In modo analogo si dimostra che se B è un insieme non vuoto e limitato inferiormente e A è l'insieme dei minoranti di B allora il massimo dell'insieme A è l'unico elemento separatore tra A e B.

    3) [Caso generale] Possiamo riassumere i casi 1) e 2) asserendo che due insiemi contigui ammettono sempre un unico elemento separatore.

    Assioma di completezza in Q

    Nell'insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali non vale l'assioma di completezza e per convincersene basta considerare gli insiemi

    \\ A=\{x \in \mathbb{Q}^+ \ : \ x^2 < 2\} \\ \\ B =\{x \in \mathbb{Q}^+ \ : \ x^2 \ge 2\}

    Ogni elemento dell'insieme A è minore di ogni elemento dell'insieme B, quindi i due insiemi sono separati.

    L'unico elemento separatore sarebbe c=\sqrt{2}, ma la radice quadrata di 2 non è un numero razionale, quindi non esiste alcun numero c \in \mathbb{Q} tale che a \le c \le b per ogni a \in A e per ogni b \in B.

    Ciò basta a concludere che l'assioma di completezza non vale nell'insieme \mathbb{Q} e, tra l'altro, è l'unica caratteristica che distingue i due insiemi dei numeri reali e dei numeri razionali: \mathbb{R} è continuo, mentre \mathbb{Q} non lo è.

    ***

    Con questo è tutto! Per qualsiasi tipo di approfondimento sull'insieme dei numeri reali vi rimandiamo alla lezione del link, se invece volete sapere cos'è un assioma - click!

    Risposta di Galois
 
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