Soluzioni
  • Per calcolare l'ampiezza degli angoli di un triangolo si possono usare varie tecniche; la scelta del metodo da seguire dipende sia dalle nostre conoscenze, sia dal tipo di triangolo considerato.

    In ogni caso la prima regola da ricordare è che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°, quale che sia il tipo di triangolo in esame.

    Oltre a ciò è bene conoscere le proprietà di cui godono gli angoli interni al variare del tipo di triangolo:

    - in un triangolo equilatero i tre angoli sono congruenti;

    - un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti;

    - un triangolo rettangolo ha un angolo retto, ossia ampio 90°;

    - in un triangolo scaleno gli angoli interni non godono di particolari proprietà.

    Conoscere queste semplici regole permette di risolvere tutti i problemi di Geometria Piana sul calcolo degli angoli di un triangolo.

    Esempi

    1) Calcolare l'ampiezza degli angoli interni di un triangolo equilatero.

    Indichiamo con \alpha, \ \beta, \ \gamma i tre angoli interni del triangolo equilatero.

    La somma delle loro ampiezze è pari a un angolo piatto

    \widehat{\alpha} + \widehat{\beta} + \widehat{\gamma} = 180^{\circ}

    Inoltre, un triangolo equilatero ha tre angoli congruenti

    \widehat{\alpha} = \widehat{\beta} = \widehat{\gamma}

    Di conseguenza

    \widehat{\alpha} + \widehat{\beta} + \widehat{\gamma} = 3 \cdot \widehat{\alpha} = 180^{\circ}

    Ossia

    3 \cdot \widehat{\alpha} = 180^{\circ}

    Dividendo ambo i membri per 3 si ottiene

    \widehat{\alpha} = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}

    Quindi l'ampiezza di ciascuno degli angoli interni di un triangolo equilatero è 60°.

    2) Un angolo alla base di un triangolo isoscele misura 30°; trovare l'ampiezza degli altri due angoli.

    Siano \alpha e \beta i due angoli alla base del triangolo e sia \gamma il suo angolo al vertice.

    Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti, quindi

    \widehat{\alpha} = \widehat{\beta} = 30^{\circ}

    Sapendo che

    \widehat{\alpha} + \widehat{\beta} + \widehat{\gamma} = 180^{\circ}

    possiamo ricavare l'ampiezza dell'angolo \gamma come differenza tra 180° e l'ampiezza dei due angoli \alpha e \beta

    \widehat{\gamma} = 180^{\circ} - \widehat{\alpha} - \widehat{\beta} = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}

    3) Uno degli angoli interni di un triangolo rettangolo ha un'ampiezza di 45°. Quanto misurano gli altri due angoli e quale altra informazione si può dedurre sul tipo di triangolo?

    Chiamiamo \alpha, \ \beta, \ \gamma i tre angoli interni del triangolo.

    In un triangolo rettangolo uno degli angoli è ampio 90°

    \widehat{\alpha}=90^{\circ}

    Un altro angolo ha un'ampiezza di 45°

    \widehat{\beta}=45^{\circ}

    Possiamo quindi ricavare l'ampiezza del terzo angolo come differenza

    \widehat{\gamma} = 180^{\circ} - \widehat{\alpha} - \widehat{\beta} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}

    Poiché gli angoli \beta e \gamma hanno la stessa ampiezza

    \widehat{\beta}=\widehat{\gamma} = 45^{\circ}

    possiamo affermare che il triangolo rettangolo è anche isoscele, ossia è un triangolo rettangolo isoscele avente come base l'ipotenusa e come lati obliqui i due cateti.

    Calcolo degli angoli di un triangolo con la Trigonometria

    La Trigonometria è quella branca della Matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli e permette di calcolare la lunghezza dei lati e l'ampiezza degli angoli di un triangolo conoscendo tre dei suoi elementi, tra cui almeno un lato.

    Tra i vari teoremi che permettono di calcolare l'ampiezza degli angoli interni di un triangolo ricordiamo:

    - i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, con cui è possibile risalire all'ampiezza degli angoli interni di un triangolo rettangolo conoscendo la misura di due dei suoi lati;

    - il teorema dei seni, per cui in un triangolo qualsiasi il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è costante;

    - il teorema di Carnot, con cui si può risalire all'ampiezza degli angoli interni di un triangolo conoscendo la misura dei tre lati.

    ***

    È tutto! Per le dimostrazioni e per vedere qualche esempio di applicazione vi rimandiamo alle pagine dei precedenti link. ;)

    Risposta di Galois
 
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