Soluzioni
  • Per calcolare l'angolo di un triangolo (ossia per calcolare l'ampiezza degli angoli interni di un triangolo) si possono usare vari metodi in base al tipo di triangolo considerato, tenendo presente che in generale la somma degli angoli interni è 180°: α+β+γ=180°.

    Somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi

    La prima regola da ricordare è che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è uguale a 180°, quale che sia il tipo di triangolo in esame.

    Angoli interni e tipi di triangoli

    Oltre a ciò è bene conoscere le proprietà di cui godono gli angoli interni al variare del tipo di triangolo:

    - in un triangolo equilatero i tre angoli sono congruenti;

    - un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti;

    - un triangolo rettangolo ha un angolo retto, ossia ampio 90°;

    - in un triangolo scaleno gli angoli interni non godono di particolari proprietà.

    Conoscere queste semplici regole permette di risolvere tutti i problemi di Geometria Piana sul calcolo degli angoli di un triangolo.

    Esempi sul calcolo dell'ampiezza degli angoli di un triangolo

    1) Calcolare l'ampiezza degli angoli interni di un triangolo equilatero.

    Indichiamo con α,β,γ i tre angoli interni del triangolo equilatero.

    La somma delle loro ampiezze è pari a un angolo piatto

    α+β+γ = 180°

    Inoltre, un triangolo equilatero ha tre angoli congruenti

    α = β = γ

    Di conseguenza

    α+β+γ = 3·α = 180°

    Ossia

    3·α = 180°

    Dividendo ambo i membri per 3 si ottiene

    α = (180°)/(3) = 60°

    Quindi l'ampiezza di ciascuno degli angoli interni di un triangolo equilatero è 60°.

    2) Un angolo alla base di un triangolo isoscele misura 30°; trovare l'ampiezza degli altri due angoli.

    Siano α e β i due angoli alla base del triangolo e sia γ il suo angolo al vertice.

    Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti, quindi

    α = β = 30°

    Sapendo che

    α+β+γ = 180°

    possiamo ricavare l'ampiezza dell'angolo γ come differenza tra 180° e l'ampiezza dei due angoli α e β

    γ = 180°-α-β = 180°-30°-30° = 120°

    3) Uno degli angoli interni di un triangolo rettangolo ha un'ampiezza di 45°. Quanto misurano gli altri due angoli e quale altra informazione si può dedurre sul tipo di triangolo?

    Chiamiamo α,β,γ i tre angoli interni del triangolo.

    In un triangolo rettangolo uno degli angoli è ampio 90°

    α = 90°

    Un altro angolo ha un'ampiezza di 45°

    β = 45°

    Possiamo quindi ricavare l'ampiezza del terzo angolo come differenza

    γ = 180°-α-β = 180°-90°-45° = 45°

    Poiché gli angoli β e γ hanno la stessa ampiezza

    β = γ = 45°

    possiamo affermare che il triangolo rettangolo è anche isoscele, ossia è un triangolo rettangolo isoscele avente come base l'ipotenusa e come lati obliqui i due cateti.

    Calcolo degli angoli di un triangolo con la Trigonometria

    La Trigonometria è quella branca della Matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli e permette di calcolare la lunghezza dei lati e l'ampiezza degli angoli di un triangolo conoscendo tre dei suoi elementi, tra cui almeno un lato.

    Tra i vari teoremi che permettono di calcolare l'ampiezza degli angoli interni di un triangolo ricordiamo:

    - i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, con cui è possibile risalire all'ampiezza degli angoli interni di un triangolo rettangolo conoscendo la misura di due dei suoi lati;

    - il teorema dei seni, per cui in un triangolo qualsiasi il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è costante;

    - il teorema di Carnot, con cui si può risalire all'ampiezza degli angoli interni di un triangolo conoscendo la misura dei tre lati.

    ***

    È tutto! Per le dimostrazioni e per vedere qualche esempio di applicazione vi rimandiamo alle pagine dei precedenti link. ;)

    Risposta di Galois
 
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