Soluzioni
  • Per determinare le radici di un numero complesso esiste una procedura ben precisa che consiste nel calcolare modulo e argomento del radicando e infine sfruttare una relazione che deriva dalla formula di De Moivre.

    L'esercizio chiede di calcolare le radici cubiche del numero complesso -4-4i, cioè

    z=\sqrt[3]{-4-4i}

    Per semplicità di esposizione, poniamo w=-4-4i ed esplicitiamo la sua parte reale e la sua parte immaginaria

    Re(w)=-4 \ \ \ ; \ \ \ Im(w)=-4

    Grazie ai valori possiamo calcolare mediante la definizione il modulo di w dato dalla relazione

    |w|=\sqrt{Re(w)^2+Im(w)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{32}

    Per quanto riguarda l'argomento, scegliamo di lavorare nell'intervallo [0,2\pi) ed osserviamo che sia la parte reale che la parte immaginaria di w sono negative, di conseguenza esso si ottiene mediante la formula

    Arg(w)=\arctan\left(\frac{Im(w)}{Re(w)}\right)+\pi=\arctan(1)+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}

    dove \arctan(\cdot) indica la funzione arcotangente.

    Grazie alla teoria sulle radici di un numero complesso sappiamo che la radice cubica di w=-4-4i è data da:

    z_{k}=\sqrt[3]{w}=\sqrt[3]{|w|}\left[\cos\left(\frac{Arg(w)+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{Arg(w)+2k\pi}{3}\right)\right]

    dove k=0,1,2.

    Rimpiazzando i valori, otteniamo

    z_{k}=\sqrt[3]{\sqrt{32}}\left[\cos\left(\frac{\frac{5\pi}{4}+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{5\pi}{4}+2k\pi}{3}\right)\right]

    Non ci resta che calcolare i tre valori sostituendo a k i numeri 0, 1 e 2, ma prima utilizziamo le proprietà dei radicali che ci permettono di esprimere il numero \sqrt[3]{\sqrt{32}} come segue

    \sqrt[3]{\sqrt{32}}=\sqrt[6]{32}

    Possiamo finalmente scrivere le radici cubiche in forma trigonometrica. Per k=0

    z_0=\sqrt[6]{32}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\right]

    Per k=1

    z_1=\sqrt[6]{32}\left[\cos\left(\frac{13\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{13\pi}{12}\right)\right]

    Per k=2

    z_2=\sqrt[6]{32}\left[\cos\left(\frac{21\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{21\pi}{12}\right)\right]

    Volendo, possiamo passare dalla forma trigonometrica alla forma algebrica, a patto di conoscere i valori delle funzioni trigonometriche, ma è un passaggio non richiesto esplicitamente dalla traccia.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica